5. РАСЧЕТ МЕТОДОМ ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ

1. МЕТОД ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ

Исходные предпосылки. Рассмотрим железобетонную п раз статически неопределимую конструкцию, находящуюся под определенной нагрузкой. О свойствах этой конструкции сделаем следующие пять предположений:

1) сечения конструкции, в которых изгибающий момент меньше разрушающего М_р, работают упруго;

2) если в каком-либо сечении конструкции будет действовать разрушающий момент М_р, то в этом сечении возникнет совершенный пластический шарнир;

3) взаимный поворот сечений, прилегающих к пластическому шарниру, после достижения моментом значения М_р будет неограниченно расти (т. е. v_р→∞) без какого-либо дальнейшего увеличения изгибающего момента;

4) осевые усилия, возникающие в стержнях системы при изгибе (в результате сводчатого или мембранного воздействия) будут пренебрежительно малы;

5) перед обрушением не произойдет полной потери устойчивости конструкции либо ее части.

Первые три предположения можно обобщенно выразить с помощью рабочей диаграммы [М, v], представленной на рис. 66. С первыми двумя предположениями мы уже встречались при рассмотрении метода Бейкера (сравнить с рис. 56). Поэтому их не следует относить к специфическим особенностям метода предельного равновесия. Четвертое предположение используется и при расчете по теории упругости. В данном случае его следует отметить особо, так как при достаточно больших деформациях конструкции перед исчерпанием несущей способности влияние осевых сил второго порядка может быть значительным (см. влияние распора в главе 2, п. 2).

Подобным образом обстоит дело и с пятым предположением. Необходимо далее помнить, что у железобетонных конструкций (в отличие от стальных) при изгибе в противоположных направлениях разрушающий момент M_p в сечении обычно бывает разным

По мере возрастания нагрузки изгибающие моменты в различных сечениях достигают значений М_р (обычно отличных одни от других) и в каждом из них образуется пластический шарнир. Если возникнет п шарниров, то конструкция становится cтатически определимой, однако при этом она остается несущей, так как повороты в шарнирах не ограничиваются. То есть в этом случае, в отличие от метода Бейкера, еще нельзя говорить о разрушении конструкции. И только с возникновением очередного пластического шарнира конструкция преобразуется в статически неопределимую по форме, превращаясь в кинематический механизм (обычно с одной степенью свободы), и разрушается при малейшем возрастании нагрузки. Происходит исчерпание несущей способности конструкции. Отсюда следует, что конструкция, отвечающая всем вышеизложенным предположениям, не может считаться разрушенной до тех пор, пока не возникло n + 1 шарниров, так как теоретически до этого момента не существует никаких признаков, которые сигнализировали бы о разрушении.

Несущая способность при использовании метода предельного равновесия характеризуется нагрузкой И_макс.

По мере последовательного высвобождения в конструкции отдельных связей ее деформации растут. При этом растут деформации как части конструкции (например, прогибы), так и всей конструкции в целом (перемещения). В результате конструкция может стать непригодной к эксплуатации задолго до возникновения всех n+l шарниров даже в том случае, когда в соответствии с первым предположением в сечениях, для которых |М|<М_Р, не возникнут пластические деформации. У железобетонных конструкций предельное состояние по деформациям оценивается при эксплуатационных, а не при расчетных нагрузках, когда еще и речи нет о возникновении каких-либо шарниров. Поэтому в дальнейшем изложении деформации конструкций рам при нагрузках, близких к исчерпанию несущей способности, рассматриваться не будут. С ростом нагрузки равновесие внутренних и внешних сил должно постоянно сохраняться. По мере возникновения новых шарниров изменяется и распределение внутренних сил, на что указывает изменение положения эпюры моментов. Непосредственно перед исчерпанием несущей способности наступает предельно возможный случай равновесия—отсюда и произошло название метода. Иногда его еще называют расчетом в пластической стадии или расчетом по теории пластических шауниров. Пока эти понятия довольно широкие и недостаточно точные.

Все, что здесь говорилось о конструкции, остается в силе и для отдельных ее частей, если, конечно, в них самих может наступить исчерпание несущей способности, т. е. если они могут превратиться в кинематический механизм. Это, например, может быть отдельный пролет неразрезной балки или рамы, который сам по себе дважды статически неопределимый. После возникновения трех пластических шарниров элемент преобразуется в кинематический механизм (при этом выполняется первое предположение). Здесь можно говорить о частичном исчерпании несущей способности, при котором исключается из работы лишь часть конструкции, но этого уже достаточно, чтобы побудить нас принять меры для обеспечения безопасности, если конечно рост деформаций не сигнализировал об опасности уже раньше.

Методу предельного равновесия в общей форме были посвящены многие работы (А. А. Гвоздев, А. Р. Ржаницын, В. Прагер [ 139], П. Ходж, Ч. Массоне и М. Савье, Б. Г. Нил). Поэтому в дальнейшем не будем подробно его излагать, а ограничимся лишь освещением самых важных теоретических выводов и остановимся подробнее на особенностях метода применительно к железобетонным конструкциям.

Статический и кинематический способы установления несущей способности. Поясним некоторые основные положения метода предельного равновесия на примере простой балки, загруженной посредине пролета силой Р (рис. 67). Простая балка — конструкция статически определимая. По аналогии с вышеизложенным сочтем балку разрушенной после возникновения одного шарнира. В этом случае балка не будет в состоянии воспринимать нагрузку.

Из статики нам известен характер эпюры моментов. Известно, что под действием силы момент будет равен 1/4Р1. Если известен разрушающий момент М_р в этом сечении (предположим, что это как раз критическое сечение), то разрушающую нагрузку Р_р можно найти из уравнения

откуда

Нагрузку Р_р в приведенном случае устанавливают статическим способом. Существуют и другие пути определения несущей способности. С ростом нагрузки Р от нулевого значения возрастают изгибающие моменты и кривизны по длине балки, и последняя деформируется. Непосредственно перед достижением в балке разрушающего момента M_р в сечении под силой линия изгиба будет иметь форму 1 рис. 67. Как только в сечении под силой возникнет пластический шарнир, балка превратится в кинематический механизм. На определенной стадия полного исчерпания несущей способности линия изгиба балки будет иметь форму 2. В соответствии с третьим предположением предыдущего пункта в процессе кинематической работы механизма момент М_р в шарнире не изменится, а следовательно, и эпюра моментов на примыкающих участках при полном исчерпании несущей способности останется той же. Поэтому не изменяется и энергия деформации, накопившаяся в балке. Изменения в прогибах и взаимных поворотах шарниров (включая и действительные шарниры на опорах) можно изобразить схематически (см. рис. 67). В соответствии с принципом виртуальных работ, работа, выполняемая силой Р при виртуальном перемещении механизма, равняется работе внутренних сил, т. е. только работе момента М_р, так как остальные моменты никакой работы не выполняют (в обоих реальных шарнирах моменты отсутствуют). Если обозначить виртуальные повороты в опорных шарнирах через θ', то их величина, как это вытекает из геометрии механизма виртуальных поворотов в пластическом шарнире, должна равняться 2θ', а виртуальная работа момента М_р= М_р20'. Работа силы Р_р равна P_pf', где f'—виртуальный прогиб посредине пролета. Так как угол θ' очень мал, то

Запишем уравнение виртуальных работ

откуда

Несущая способность Р_р, найденная кинематическим способом, приводит к тому же результату.

Оба способа определения несушей способности применимы и к более сложным конструкция м. Сущность этих методов можно выразить следующим образом. В исследуемой системе известен или предполагается определенный механизм разрушения. При использовании статического способа устанавливается такое распределение моментов, положение и величина которых определяется моментами М_р в местах ожидаемых пластических шарниров, а форма распределения задана характером

нагрузки, действующей на конструкцию. Для такого распределения моментов устанавливается нагрузка U_MaKC=U.

При использовании кинематического способа нагрузку Uмакс= U вычисляют из равенства виртуальных работ, выполненных ею и моментами М_р в пластических шарнирах известного или предполагаемого механизма разрушения. В большинстве случаев кинематический способ решения нагляднее и поэтому удобнее при выполнении расчетов. Его можно применить при расчете конструкций различных типов и краевых условий как это будет показано в дальнейшем изложении и в примерах расчета. Статический способ чаще всего используют лишь для контроля расчета.

Расчет не представляет никаких затруднений для тех конструкций и нагрузок, у которых механизм разрушения задан однозначно. Например, у балки постоянного сечения с двусторонним защемлением концов (рис. 68, а) шарниры могут возникнуть только под грузом и в заделках. У рамы со стержнями постоянного сечения (рис. 68, б, в) механизм разрушения определяется видом нагрузки и геометрией конструкции.

Существует ряд систем «конструкция — нагрузка», для которых возможно существование нескольких видов механизма разрушения. Например, у балки переменного сечения с двусторонним защемлением концов (рис. 69) в зависимости от расположения шарниров у опор возможны три разновидности таких механизмов. Иным примером может служить конструкция рамы (рис. 70, а), у которой могут встретиться I, II или III виды механизмов разрушения. Образование того или иного механизма при полном исчерпании несущей способности зависит, во-первых, от геометрических и механических свойств конструкции, во-вторых, от вида нагрузки. Для балки, показанной на рис. 69, основной вид механизма разрушения определяется геометрией и нагрузкой. На расположение пластических шарниров влияют свойства сечений балки. У рамы, изображенной на рис. 70, а, решающим будет соотношение между вертикальной и горизонтальной нагрузками.

Рассмотрим подробнее последний случай. Предположим, что критическими будут сечения с первого по пятое (см. рис. 70, а). Пусть их разрушающие моменты будут одинаковы в обоих направлениях изгиба и равны М_р. Влияние нормальной силы не учитываем. Допустим, что между Р и Н существует линейная зависимость Р=αН. Найдем несущую способность рамы, например Н_р, допуская возможность всех трех видов разрушения конструкции. Используем кинематический способ расчета.

В механизме разрушения вида I при полном исчерпании несущей способности работу совершает только сила Р_р=αH_р, в то время как точка приложения силы H_р не перемещается. Работу внутренних сил выполняют моменты М_р, действующие в сечениях 2, 3 и 4. Из геометрии системы вычислим перемещения и повороты, указанные на рис. 70 (I). Для виртуальной работы будет справедливым уравнение

Для заданного соотношения М_р/1 (примем его, например, равным 1) можно построить диаграмму зависимости несущей -способности от а (рис. 71), из которой видно, что каждому значению а соответствуют три различных значения несущей способности. Каждое из них соответствует одному определенному виду механизма разрушения. Требуется решить, какой из них может быть в действительности. Напрашивается вывод, что решающей всегда является наименьшая из величин несущей способности. Например, при а=0,25 несущая способность H^II_p, если а=1, то H^III_p, а при а=5 несущая способность H^I_p. В действительности так оно и есть, что можно теоретически доказать с помощью одного из двух основных положений метода предельного равновесия.

Иногда бывает выгодно выразить несущую способность конструкции через диаграммы взаимодействия, такой, как, например, на рис. 72. Это зависимость между двумя составляющими несущей способности (в нашем случае это H_р и Р_р). Она складывается из стольких отдельных зависимостей, сколько может быть механизмов разрушения. Учитывая характер уравнений виртуальной работы при действии отдельных сосредоточенных усилий, можно сказать, что такие зависимости обычно линейные.

B излагаемом методе не учитывалось влияние нормальных сил, хотя в рамной конструкции нормальные силы всегда присутствуют. Их влияние при использовании метода предельного равновесия учитывается двумя способами: 1) разрушающие моменты M_p являются функциями нормальных сил; 2) нормальные силы изменяют положение линии сжатия в конструкции и таким образом влияют на геометрию механизма разрушения.

А. Рыжиньски экспериментально, а Т. Нонака теоретически доказали, что с точки зрения практики влияние нормальных сил на несущую способность конструкции несущественно и, следовательно, в обычном расчете его можно не учитывать. Поэтому в дальнейшем изложении всегда подразумевается, что момент М_р заранее известен и не зависит от роста нагрузки. В примерах, приведенных в главе 7, п. 3, будет показан ход решения с учетом влияния нормальной силы. Отметим здесь, что нормальная сила влияет на деформативные свойства конструкции, что учитывается методами, изложенными в главе 4.

На примере балки с двусторонним частичным защемлением концов покажем, как можно учесть влияние краевых условий при использовании кинематического метода. Предположим, что балка, показанная на рис. 73,а, имеет постоянное сечение с одинаковым разрушающим моментом в обоих направлениях изгиба. При достижении несущей способности Р_р балка трансформируется в кинематический механизм с виртуальными поворотами θ'₁, θ'₂ = 2θ'₁, θ'₃=θ'₁ (см. рис. 73,б). Предположим, что поворот θ'₁ складывается из двух частей

где часть θ'_1А — действительно виртуальная, так как ее возникновение связано с воздействием нагрузки на конструкцию; часть θ'_1В—лишь результат изменения геометрии системы (независимо от того, какова причина этого изменения).

Если θ'₁в=0, θ'₁ =θ'₁ а, то в сечении 1 имеется полное защемление. Если же, наоборот,

то в данном случае — шарнирное опирание. Примем

где φ — степень защемления (0≤φ≤l).

Запишем уравнение виртуальной работы (в котором «невиртуальный» поворот θ'₁ в отсутствует):

Так как f'=θ'₁l/2, то после некоторых преобразований получим, что

При φ=1 (полное защемление концов балки) имеем

а при φ=0 (обыкновенная балка)

В этом случае при исчерпании несущей способности на концах балки при их частичном защемлении не может действовать полный разрушающий момент М_р, а только его часть φМ_р. В противном случае не обеспечивалось бы равновесие сил. Из этого соображения можно исходить при использовании статического метода для определения несущей способности конструкций с частично защемленными концами.

Рассмотрим коротко случаи загружения распределенной нагрузкой. В соответствии с изложенным в главе 1, п. 2 в пролете, загруженном распределенной нагрузкой, нельзя заранее определить положение сечения, соответствующего максимальному изгибающему моменту, так

как распределение моментов неизвестно. Чтобы точно установить несущую способность U_макс при ожидаемом возникновении пластического шарнира именно в пролете, загруженном распределенной нагрузкой, необходимо также точно установить и положение шарнира Если положение шарнира будет найдено неточно, то несущая способность, подсчитанная кинематическим способом, окажется больше ее теоретической величины

В случае равномерно распределенной нагрузки q, зная моменты в заделках М₁ и М₃, можно легко вывести формулу для определения расстояния у₀ от сечения максимального момента до середины пролета (рис. 74):

При назначении размеров сечений элементов, загруженных равномерно распределенной нагрузкой, часто требуется вычислять максимальный момент в пролете М₂

Основные правила. Ниже излагаются основные правила метода предельного равновесия. Авторы не ставили перед собой задачу заниматься здесь их выводами. Последние подробно изложены в работах [8, 32, 34 и др.].

В общем случае для загружения рамной системы заданного вида существует несколько различных способов распределения моментов, отвечающих условиям сохранения равновесия сил. Такие распределения называют статически допустимыми.

Кроме того, все распределения, для которых в каждом сечении |М|≤M_p, будем считать безопасными. Пусть каждому такому виду распределения соответствует определенная нагрузка U В этом случае можно сформулировать статическое правило, если для данной конструкции рамы и нагрузки данного вида можно найти статически допустимое и безопасное распределение моментов, то нагрузка U, соответствующая такому распределению, будет максимум равна нагрузке, соответствующей полному исчерпанию несущей способности U_макс

Иначе говоря, если попытаться отыскать все возможные в рассматриваемом случае значения U статическим способом, то наибольшее из них и будет искомой несущей способностью U_макс. И, наоборот, если выясняется, что при данной нагрузке S не существует никакого статически допустимого и безопасного распределения моментов, то S> U_макс.

Важным выводом, следующим из статического правила, является то, что любое усиление конструкции не может уменьшить ее первоначальной несущей способности U_макс. Если же конструкция разрушается при нагрузке U_макс, то для последней должно существовать по крайней мере одно статически допустимое и безопасное распределение моментов. Это распределение должно оставаться статически допустимым и безопасным и тогда, когда мы в одном или нескольких сечениях увеличим разрушающие моменты. Условия равновесия от этого не изменятся, а значение М_р также нигде не будет превышено. Нагрузка, соответствующая полному исчерпанию несущей способности, или увеличится или ее первоначальное значение останется без изменения.

Аналогично для исследуемой системы можно найти несколько механизмов разрушения, каждому из которых соответствует определенная несущая способность U, подсчитанная с помощью принципа виртуальной работы. Кинематическое правило формулируется следующим образом: если для данной конструкции рамы, вида нагрузки и предполагаемого механизма разрушения можно найти значение U, то оно всегда будет по меньшей мере равно нагрузке U_макс, соответствующей полному исчерпанию несущей способности конструкции.

Если теперь кинематическим способом определить несущую способность U, соответствующую предполагаемому механизму разрушения, то наименьшая из них и будет искомой несущей способностью конструкции U_макс.

Из комбинации обоих правил можно вывести объединенное правило: если для данной конструкции рамы и вида нагрузки можно отыскать по крайней мере одно статически допустимое и безопасное распределение моментов и если при таком распределении разрушающий момент достигается в стольких сечениях, сколько их требуется для создания из конструкции кинематического механизма, то соответствующая этому нагрузка и будет искомой, соответствующей полному исчерпанию несущей способности конструкции U_макс.

В дальнейшем изложении будет показано, что объединенное правило имеет важное значение для проектирования железобетонных конструкций.

Многоэтажные рамы. Многоэтажные рамы, подвергающиеся вертикальным и горизонтальным нагрузкам, обычно являются многократно статически неопределимыми конструкциями с многочисленными вариантами возможного механизма разрушения. Для примера рассмотрим многоэтажную раму на рис. 75.

Если предположить, что все ее стержни имеют в обоих направлениях изгиба постоянные сечения и что пластические шарниры могут образоваться только в критических сечениях, то несущая способность этой конструкции может быть достигнута при возникновении в общей сложности 16 различных вариантов механизмов разрушения. По сравнению с аналогичной рамой с одним ригелем число таких механизмов будет в 5 раз больше, хотя количество статической неопределимости выросло лишь вдвое.

Число шарниров в отдельных механизмах окажется разным и будет изменяться от 3 до 7. Для определения несущей способности U_макс следовало бы проанализировать все механизмы разрушения, что довольно трудоемко. В случае реальной железобетонной конструкции, где сечения элементов различны, число возможных механизмов разрушения увеличится во много раз и практическое решение станет чрезмерно трудоемким и гораздо более сложным по сравнению с расчетом в упругой стадии работы. Поиски механизмов разрушения до сих пор не удается автоматизировать, а следовательно, и использовать для этого ЭВМ. И, наконец, для систем с высокой степенью статической неопределимости поиск возможных механизмов разрушения вообще оказывается невыполнимой задачей. На рис. 76 и 77 показаны некоторые из возможных механизмов разрушения многоэтажных рам с тремя ригелями и тремя пролетами.

Рассматривая возможности одновременного воздействия неблагоприятных факторов, можно прийти к выводу, что вероятность возникновения определенного механизма разрушения уменьшается с ростом числа шарниров, которые требуются для его образования. Если вероятность возникновения одного шарнира будет р, то вероятность одновременного возникновения п шарниров равна р^п. Вероятность возникновения механизмов V и I на рис. 76 будет тогда равняться соответственно р²² и р⁸*.

Появления механизма разрушения V практически нельзя ожидать, если не обеспечить, чтобы вероятности возникновения шарниров в критических сечениях были равны или больше р.

В соответствии с кинематическим правилом это требование будет выполнено лишь тогда, когда каждое критическое сечение будет запроектировано с учетом возникновения хотя бы одного механизма разрушения. После того как для некоторого сечения будут подсчитаны необходимые разрушающие моменты при различных механизмах разрушения, их необходимо будет сложить и запроектировать сечение на их суммарную величину. Однако и этот способ достаточно трудоемок. Поэтому целесообразно при проектировании железобетонных конструкций применить объединенное правило. По методическим соображениям ниже

приводятся принципы решения для случаев раздельного действия горизонтального и вертикального загружений.

Горизонтальное загружение.

Механизмы разрушения I, II, III, IV и V (см. рис. 76) типичны для многоэтажных рам при действии горизонтальной нагрузки. Соответствующие виртуальные повороты можно легко вычислить исходя из геометрических параметров самого механизма. При высоте этажа h уравнение виртуальной работы для отдельных механизмов разрушения можно последовательно записать следующим образом:

Из приведенных уравнений определим моменты М^I_р...М^IV_р. Если какой-либо из шарниров встретится в нескольких механизмах разрушения, то параметры этого сечения назначают исходя из суммарных разрушающих моментов. Например, сечение в месте заделки стойки в фундамент рассчитывают на момент

Расчет железобетонных рамных конструкций в пластической стадии.
Перераспределение усилий.
М. Тихий, Й. Ракосник
перевод с чешского Б.М. Сергеенко
1976