5. РАСЧЕТ МЕТОДОМ ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ

Если принять H₁=H₂=H₃=H, то необходимый разрушающий момент в защемлениях будет

Данное решение не является оптимальным, так как некоторые сечения будут запроектированы с большим запасом, но оно надежно и просто. Однако в нем не учитывается вероятность возникновения того или иного механизма разрушения.

Вертикальная нагрузка. Наметим последовательность решения -кинематическим способом для теоретического случая загружения (И. Гийон решил эту задачу статическим способом). На отдельных стадиях решения введем некоторые упрощающие допущения, во-первых, для того, чтобы облегчить понимание излагаемого материала, во-вторых, из-за невозможности дать общее решение, пригодное для любого вида рам и нагрузок. Здесь важно прежде всего (продемонстрировать сам ход мысли.

Обратимся к конструкции рамы (рис, 78), на некоторые пролеты которой действуют вертикальная постоянно действующая равномерно распределенная нагрузка g и временная р. Рассмотрим три составные части конструкции: во-первых, самостоятельный пролет i, затем окрестности узла J_i включающие в себя части стоек под и над узлом и части обоих прилегающих пролетов i и i+1, и часть конструкции, примыкающую к узлам J_i и (J+1)_i. Вначале определим эпюру разрушающих моментов в ригелях, противостоящих положительным и отрицательным изгибающим моментам (в соответствии c правилом знаков рассматриваем абсолютные значения разрушающих моментов). На рис. 79 схематически показаны типовые случаи распределения разрушающих моментов в ригелях и одновременно их знаки (по И. Гийону). Пусть разрушающие моменты для сечений всех стоек в обоих, направлениях изгиба имеют значение Y_р (для нижележащих сечений) и Y'_р (для вышележащих сечений). При подсчете Y_р и Y'_р необходимо учесть влияние осевой силы, действующей в сечении.

Ради упрощения предположим, что при вертикальном загружении узлы остаются неподвижными. Вполне понятно, что такое предположение не всегда выдерживается, однако возможные неточности у обычных конструкций очень малы [92], и не стоит уделять им внимание.

Займемся вначале рассмотрением пролета i. Чтобы установить положение эпюры моментов в пролете, необходимо знать значения двух моментов, допустим, в местах защемления.

Таким образом имеется дважды статически неопределимая часть конструкции, которую в соответствии с главой 5, п. 1 можно считать разрушенной, если в ней возникнут три пластических шарнира. Самое неблагоприятное воздействие на ригель в пролете возникнет от суммарной нагрузки g_p+p_p независимо от загруженности остальных пролетов конструкции.

Схема механизма разрушения показана на рис. 80. Если разрушающие моменты будут такими, как это показано на рис. 79, то можно записать следующее уравнение, выражающее равенство виртуальных работ внешних и внутренних сил:

из которого после преобразования получим

Рассмотрим далее узел J_i с примыкающими к нему участками конструкции (рис. 81). Чтобы определить распределение моментов в узле, необходимо знать величины трех изгибающих моментов. Таким образом, это трижды статически неопределимая часть конструкции, в которой на момент разрушения должны возникнуть четыре пластических шарнира. При этом, чтобы узел смог поворачиваться, необходимо, чтобы в каждом из отходящих от него стержней возникло по одному шарниру. В зависимости от характера загружения конструкции в ней могут возникнуть различные механизмы разрушения, соответствующие данному условию. На рис. 81 показаны две схемы (верхние) механизма, при котором временная нагрузка прилагается таким образом, чтобы при расчете по теории упругости в пролете i возникали максимальные моменты. Чтобы подчеркнуть самостоятельность части конструкции в окрестностях узла и с учетом характера последующего изложения, шарниры в пролетах изображены сдвоенными. Общий виртуальный поворот двойного шарнира в 2 раза превышает виртуальный поворот узла. Другой возможный вариант переменной временной нагрузки и соответствующий ей механизм разрушения показан на рис. 81 (две нижние схемы).

В этой схеме предполагается, что в результате воздействия отрицательных изгибающих моментов шарниры возникнут посредине незагруженных пролетов. Если же теперь на картину распределения разрушающих моментов (см. рис. 79) наложить эпюру моментов от нагрузки g_p+p_p, а затем отдельно от нагрузки g_p в их крайних неблагоприятных положениях, то выяснится, что пластические шарниры в полностью загруженном пролете возникнут в соответствии со схемой, показанной на рис. 80. При отсутствии временной нагрузки шарниры будут образовываться в четвертях пролета.

Запишем теперь уравнение виртуальной работы для случая загружения, изображенного на двух верхних схемах рис. 81. Обозначение моментов примем в соответствии с рис. 79 и схемой, показанной на рис. 82, а

Знаки виртуальной работы, выполняемой нагрузкой g_p в пролете i+1, будут отрицательными, так как предполагаемые перемещения точки приложения результирующих нагрузки g_p будут направлены навстречу действию самой нагрузки. Приняв, что ³/₃₂=¹/₁₀ и произведя некоторые преобразования, получим следующее выражение:

Для механизма разрушения, показанного на двух нижних схемах на рис. 81, поворот в пластических шарнирах стоек будет в 2 раза больше угла поворота в тех же шарнирах при наличии механизма разрушения в соответствии с двумя верхними схемами рис. 81 (см. рис. 82,б). Остальные виртуальные перемещения меняться не будут. Поэтому по аналогии с уравнением (96) можно записать, что

Понятно, что, решая уравнение (97), мы должны получить большую несущую способность, чем это следует из уравнения (96). Поэтому при расчете конструкции на восприятие усилий от данной нагрузки g_p и р_Р геометрические размеры сечений получались бы большими при использовании уравнения (96). Надежи ость конструкции в этом случае обусловлена нагрузкой в соответствии с двумя верхними схемами рис. 81.

Рассмотрим части конструкции, примыкающие к узлам Ji и (J+l)_i. При этом система ,пусть будет загружена так, чтобы в узле Ji возникло самое неблагоприятное воздействие, т. е. чтобы

изгибающий момент в нем был минимальным. Механизм разрушения, соответствующий такому загружению, показан на рис. 83. На этот раз в стоике i не возникнет никаких пластических шарниров. Исследуемая часть конструкции симметрична относительно оси стойки, поэтому можно рассматривать только одну ее половину. Как я в предыдущих двух случаях, составим уравнение виртуальных работ (виртуальные повороты в пластических шарнирах показаны на рис. 84):

виртуальная работа нагрузки, действующей на ригель J,

Отметим, что возможность образования механизма разрушения в соответствии со схемой, приведенной на рис. 84, в связи с большим количеством шарниров весьма маловероятна (см. главу 3, п. 2) и, собственно, им не следовало бы заниматься вообще.

Комбинированное загружение. При одновременном воздействии горизонтальной и вертикальной нагрузок критические сечения следует рассчитывать на восприятие разрушающих моментов

где M_p→ — момент от воздействия только горизонтальной нагрузки, M_p↓ — момент от воздействия вертикальной нагрузки.

Последовательность операций при проектировании. Рассчитывая конструкцию методом предельного равновесия, можно решить обе задачи, встающие перед проектировщиком. При этом в зависимости от типа системы будет легче или рассчитать сечения конструкции, или их назначить, чтобы затем оценить их несущую способность. Определяя параметры конструкции, необходимо всегда руководствоваться выводами, сделанными в главе 5, л. 2, и действовать следующим образом:

построить эпюры моментов для отдельных стержней системы от нормативной или какой-либо другой центрально приложенной нагрузки (в зависимости от используемого метода проектирования). При этом стержни считаются статически определимыми элементами (простыми балками или консолями);

эпюры моментов вписать в осевой полигон системы таким образом, чтобы выполнялись условия равновесия сил по отношению к внешней нагрузке и в отдельных узлах. Если на конструкцию действует независимо одна от другой несколько нагрузок различных видов, то эпюру моментов следует расположить так, чтобы хотя бы в некоторых критических сечениях моменты от этих нагрузок совпадали по величине, т. е. чтобы эти сечения можно было бы использовать для двух или более типов нагрузки одновременно;

сечения стержня рассчитать на полученный вышеуказанным способом момент (точно так же, как если бы распределение моментов было подсчитано по теории упругости).

Проверить, возможно ли в каждом пролете вписать в эпюру разрушающих моментов эпюры моментов от отдельных видов нагрузок или же от их комбинации. Далее необходимо проверить, выполняются ли условия равновесия в узлах, а также по этажам.

При назначении поперечной арматуры необходимо руководствоваться указаниями, данными в главе 4, п, 1.

При оценке несущей способности конструкции заданных размеров, имеющей определенное армирование и загруженной известной нагрузкой, поступают таким образом: устанавливают степень статической неопределенности системы или ее отдельных частей, в которых могут возникнуть самостоятельные механизмы разрушения;

выявляют по возможности все механизмы разрушения. При этом предполагается, что пластические шарниры возникнут в местах максимальных абсолютных значений изгибающих моментов. Если на конструкцию действует распределенная нагрузка, то при некоторых механизмах разрушения место расположения пластических шарниров нужно назначить;

зная свойства сечения, вычисляют разрушающие моменты; для каждого механизма разрушения устанавливают несущую способность U (например, кинематическим способом). В случае необходимости при действии распределенной нагрузки проверяют правильность расположения пластического шарнира;

наименьшая несущая способность U (при использовании для ее нахождения кинематического способа) и будет искомым значением U_макс;

если нет уверенности в том, что не возникнет еще какой-либо дополнительный механизм разрушения, не рассматривавшийся во втором пункте, то следует проверять безопасность распределения моментов U_макс. Если безопасность не обеспечена, следует откорректировать решение.

2. МЕТОД ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫМ КОНСТРУКЦИЯМ

Применение объединенного правила. При изучении и использовании выводов ряда работ, перечисленных в главе 5, п. 1, необходимо помнить, что большая часть их посвящена исследованию работы стальных конструкций. Особенно это касается общих выводов, где часто забывают о специфических особенностях железобетонных конструкций. Теоретически сечения можно заармировать так, чтобы они могли работать вплоть до требуемого разрушающего момента. Возможность осуществить это на практике зависит от размеров конструкции, способа ее армирования и т. д.

Указанное свойство железобетонных конструкций позволяет запроектировать сечение таким образом, чтобы его можно было максимально использовать. Вернемся к рассмотрению рамы, показанной на рис. 70,а, сечения которой имеют одинаковую несущую способность М_р. При а=1,5 решающим будет механизм разрушения типа III (в соответствии с диаграммой на рис. 71), а это значит, что несущая способность сечения 2, в котором пластический шарнир не возникнет, не будет использована полностью ни при положительном, ни при отрицательном повороте. Поэтому сечение 2 не нужно рассчитывать на полный момент М_р, а, следовательно, несущую способность его можно снизить. Если обобщить полученные сведения, то станет ясно, что для обеспечения максимальной экономичности конструкции моменты M_v в отдельных сечениях следует назначать так, чтобы при данной нагрузке и любых возможных механизмах разрушения несущая способность конструкции была бы одинаковой.

Пусть теперь читатель еще раз обратится к тексту объединенного правила (стр. 125). Допустим, что нам известны статическая схема проектируемой конструкции, схема загружения и нагрузка при исчерпании несущей способности U_макс. Тогда для данной нагрузки можно подобрать любое допустимое распределение моментов М. Запроектируем каждое сечение так, чтобы для него |М| =М_р. В этом случае распределение моментов будет безопасным, но при этом в каждом сечении может одновременно образоваться пластический шарнир, а следовательно, возникнет бесчисленное множество механизмов разрушения. В соответствии с объединенным правилом каждому из этих механизмов разрушения будет соответствовать одна и та же несущая способность U_макс.

Другими словами, если при данной нагрузке U_макс необходимо полностью использовать несущую способность каждого сечения конструкции, то их следует запроектировать так, чтобы распределение разрушающих моментов М_р было статически допустимым. Разумеется, по конструктивным соображениям невозможно выполнение равенства М=М_р для каждого сечения даже в том случае, когда на конструкцию действует нагрузка всего лишь одного вида. Поэтому обычно определяют параметры только критических сечений. Армирование остальных сечений выполняют с учетом конструктивных требований в общепринятом порядке.

Объединенное правило используют и при расчете самой системы. При проектировании не обязательно определять разрушающие моменты из уравнения виртуальных работ. Можно разместить эпюру моментов от нагрузки U_макс так, чтобы выполнялись условия равновесия сил, и затем рассчитывать конструкцию на такое распределение моментов.

Правомерность этого метода можно легко доказать на примере балки с двусторонним защемлением концов, загруженной силой Р_р посредине пролета (рис. 86). Запроектируем балку с помощью объединенного правила. Эпюра разрушающих моментов при этом должна соответствовать условию равновесия сил, т. е.

Форма эпюры моментов по отношению к линии основания должна быть такой же, как у простой балки. Положение линии основания может быть произвольным.

Как уже указывалось ранее, пластические шарниры могут образоваться в любом из трех сечений а, b и с. Убедимся, что при этом несущая способность балки будет всегда равна Р_р независимо от того, где возникли шарниры. В соответствии с обозначениями, принятыми на рис. 86, разрушающие моменты в сечениях а, b и с будут следующими:

Виртуальные повороты в шарнирах а, b и с будут соответственно равны:

а виртуальное перемещение под силой Р

Уравнение виртуальных работ для механизма разрушения будет следующим:

Таким образом получается, что несущая способность данной балки вообще не зависит от расположения шарниров. Похожее доказательство можно провести и для случая произвольного расположения силы либо .нагрузки другого вида.

Рассмотрим простую раму с защемленными стойками, на которую в уровне ригеля действует горизонтальная сила H_р (рис. 87). В соответствии с объединенным правилам для этой рамы можно назначить какое угодно распределение разрушающих моментов, лишь бы выполнялось условие

и чтобы его изменение в отдельных стержнях системы было линейным. Этим условиям отвечают распределения, указанные на рис. 87,б, в, г. Из их сравнения видно, что расход арматуры по рис. 87,в будет значительно больше по сравнению с расходом по рис. 87,а. Кроме того, в начале загружения в защемлении должен образоваться шарнир, что нежелательно с точки зрения пригодности конструкции к эксплуатации в предельном состоянии. Аналогично обстоит дело и с распределением по рис. 87,г.

Отсюда следует, что объединенное правило, несмотря на его исключительную выгодность для железобетонных конструкций, невозможно использовать в полном объеме. Деформативные свойства железобетонных конструкций накладывают определенные ограничения, которые необходимо учитывать в расчете. Объединенное правило можно использовать описанным выше способом, если оценивать конструкцию методами, изложенными в главе 4, или если придерживаться ограничений, о которых пойдет речь в дальнейшем. Практическое применение объединенного правила предусматривает метод, предложенный Р. Фурлонгом.

Ограничения для железобетонных конструкций. В главе 2 подробно рассматривались факторы, влияющие на перераспределение усилий. Были показаны значения рабочей диаграммы сечения, статической системы и, наконец, влияние характера нагрузки. Эти, а также некоторые другие факторы необходимо учитывать, принимая решение о том, в какой степени при проектировании можно использовать метод предельного равновесия.

Бетон и арматура, используемые в настоящее время для изготовления железобетонных конструкций, таковы, что в общем случае позволяют осуществить в конструкции полное перераспределение усилий, если при этом соблюдаются некоторые

ограничивающие условия. Последние распространяются на степень армирования критических сечений, а также на распределение моментов при полном перераспределении усилий и на его отношение к распределению, подсчитанному по теории упругости.

Степень армирования критических сечений. Учитывая влияние рабочей диаграммы на перераспределение усилий, желательно исключить из конструкции те сечения, у которых перед разрушением пластические деформации относительно малы и одновременно мала протяженность пластической зоны. Этим отрицательным свойством обладают сечения, разрушающиеся по случаю II (из-за раздробления бетона сжатой зоны) в элементах, эпюра моментов которых имеет две нулевые точки (обычно это непосредственно загруженные элементы).

Сечения с малыми пластическими деформациями можно исключить, ограничив относительную высоту сжатой зоны при разрушении сечения ξ_p=x_p/h₀. Для этого лучше всего поставить условие

где ξ^*_p — максимально допустимое значение ξ_p, при котором обеспечивается полное перераспределение усилий.

Для определения значения ξ^*_p не существует никаких специальных формул, поэтому более или менее эмпирически принимают

где ξ_гр — относительная высота сжатой зоны на границе между случаями разрушения I и II, при которой происходит одновременное раздробление бетона сжатой зоны и достигается предел текучести в арматуре.

Коэффициентом k учитываются разброс свойств сечения, а также прочие неясности в работе конструкции. На основании имеющегося опыта рекомендуется принимать k=0,7*.

Если предположить, что сечения конструкции при исчерпании несущей способности останутся плоскими (что в определенной степени оправдано), то на основании рис. 88 можно вывести формулу для подсчета значения ξ_гр:

Если отойти от гипотезы плоских сечений, то формула для вычисления ξ_гр намного усложнится. Опираясь на анализ результатов испытаний изгибаемых железобетонных элементов, СНиП II-B.1 (проект 1972 г.) рекомендует использовать для подсчета ξ_гр следующее выражение:

где R_пp — призменная прочность бетона; R_a— расчетное сопротивление стали на растяжение, кгс/см².

В случае, когда R_np<140 кгс/см², принимают R_np= = 140 кгс/см². Приведенная формула справедлива лишь для сталей с физическим пределом текучести, т. е. для стали классов А-I, A-II и A-III. Диаграмма зависимости (106) для бетона марки 300 и ниже при различных k изображена на рис 89.

Для прямоугольных сечений, а также для тавровых и двутавровых с нейтральной осью, проходящей в сжатой полке, можно найти формулу для непосредственного установления максимальной степени армирования. Предположим, что эпюры напряжений и деформаций в сечении будут такими, как это показано на рис. 88. Если α'≤x_p/2, то напряжение в арматуре сжатой зоны σ'_а можно принять примерно равным R_а.с (расчетное сопротивление арматуры на сжатие). Запишем уравнение равновесия

В тавровых и двутавровых сечениях за ширину b принимают ширину сжатой полки, т. е. b = b'_п. Согласно условию (104) подставим в уравнение (108) вместо х_р значение х*_р. Так как

то после выполнения некоторых преобразований получим формулу для подсчета предельной разности в степени армирования

На рис. 90 показана зависимость (μ—μ')* от значения R_пp и R_а при k=0,7¹⁾

В сжатых элементах обычно имеется одна точка нулевого момента, расстояние от которой до критического сечения бывает относительно больше, чем в изгибаемых элементах, где таких точек две и располагаются они вблизи опор. Из уравнения (64)

следует, что увеличение расстояния t от критического сечения до точки нулевого момента благоприятно влияет на пластический поворот 0р при разрушении, а следовательно, и на меру перераспределения усилий.

Расчет железобетонных рамных конструкций в пластической стадии.
Перераспределение усилий.
М. Тихий, Й. Ракосник
перевод с чешского Б.М. Сергеенко
1976