5. РАСЧЕТ МЕТОДОМ ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ

С учетом возможного хрупкого разрушения изгибаемых малоармированных элементов, а также принимая во внимание условия эксплуатации конструкции, рекомендуется также установить и минимальную степень армирования. М. Кон и В. Петку принимают = 0,006 (при R^н_а =2600 кгс/см²). Полное перераспределение усилий наблюдалось исследователями и при более низких степенях армирования. При этом образуются трещины с чрезмерной шириной раскрытия и возникают нежелательные деформации.

Если попытаться обобщить вое сказанное о степени армирования, то можно сформулировать два правила:

1) сечения изгибаемых элементов статически неопределимых железобетонных конструкций, в которых предполагается использовать перераспределение усилий, следует проектировать так, чтобы выполнялось условие

где (μ-μ')*— величина, полученная из графика на рис. 90.

Это условие распространяется только на элементы, в которых изгибающий момент равен нулю по крайней мере в двух сечениях;

2) если статически неопределимая конструкция, запроектированная по прочности, не оценивается по жесткости и ширине раскрытия трещин, то степень армирования ее сечений растянутой арматурой не может быть меньше μ_мин= 16R^н_а, где R^н_а — нормируемый предел текучести арматуры, кгс/см².

Распределение моментов. Конструкции, встречающиеся на практике, обычно соответствуют требованиям двух сформулированных выше правил. Следуя этим правилам, проектировщик исключает случаи разрушения конструкций при малых пластических деформациях. При выполнении расчета необходимо выяснить возможность использования данной конструкцией пластических свойств. При этом многое зависит от того, насколько отличается распределение скорректированных моментов М от распределения моментов М_уп, полученных из расчета по теории упругости. В настоящее время не существует метода, позволяющего произвести такую оценку. Поэтому приходится исходить из эмпирических правил, проверенных опытом и подтвержденных практикой (применения.

Руководствуясь общим правилом, теоретически можно назначить любое распределение моментов, соблюдая при этом условие предельного равновесия. Тем не менее, чтобы обеспечить полное перераспределение усилий, а следовательно, и полнее использовать несущую способность конструкции, требуется ограничить такую произвольность при определении положения эпюры моментов. При этом исходят из двух принципов: 1) распределение моментов при предполагаемом полном перераспределении усилий не должно намного отличаться от распределения, подсчитанного по теории упругости. Что это означает количественно, разъясним несколько позднее; 2) отклонение в распределении моментов при полном перераспределении усилий от подсчитанного по теории упругости должно быть логичным, т. е, должно привести к более выгодному распределению арматуры с точки зрения изготовления конструкции и быть направлено скорее к выравниванию значений разрушающих моментов в отдельных критических сечениях, чем наоборот.

Смысл первого положения легко объяснить, если учесть одно простое обстоятельство, а именно, что начальное распределение моментов в конструкции задано теорией упругости. Допустим, что нам известно распределение моментов при исчерпании конструкцией своей несущей способности U_макс. Чем большим будет отклонение такого распределения от распределения, подсчитанного по теории упругости, тем более значительным пластическим деформациям должна противостоять пластическая зона. Понятно, что при больших отклонениях может случиться так, что некоторые критические сечения окажутся не в состоянии перенести возникающие деформации.

(Второе положение, помимо теоретического обоснования, аналогичного приведенному выше, имеет и практическое значение. Хотя его нельзя выразить количественно, все же в некоторых работах и в ряде норм имеются правила, позволяющие в определенных рамках корректировать распределение моментов.

Самым простым является правило, предписывающее ограничивать изменения моментов, подсчитанных по теории упругости, определенной постоянной величиной. Это ограничение распространяется лишь на опорные или узловые моменты (при соблюдении условий предельного равновесия, что достигается одновременным увеличением момента в пролете или же изменением других моментов в узле) либо на какие-то другие моменты. Так, например, утверждается, что:

1) опорные или узловые моменты, использованные при проектировании, не могут отличаться от опорных или узловых моментов М_оп.уп полученных упругим расчетом с учетом работы бетона на растяжение;

2) распределение опорных или узловых моментов, использованное при проектировании, ни при какой нагрузке не должно отличаться более чем на ±0,17 М_оп.уп от моментов М_оп.уп, определенных упругим расчетом, с учетом работы бетона на растяжение. Кроме того, ни в одном критическом сечении нельзя уменьшать расход арматуры более чем на 50% по сравнению с ее количеством, необходимым по упругому расчету;

3) абсолютные значения изгибающих моментов в критических сечениях, использованные при проектировании, должны быть не менее 70% от абсолютного значения изгибающих моментов, определенного упругим расчетом с учетом работы бетона на растяжение. В сечениях, на которые действует осевая сила, моменты берут по отношению к центру тяжести сжатой зоны;

4) изгибающие моменты в критических сечениях, использованные при проектировании, не должны отличаться от моментов, подсчитанных для конструкции с трещинами, более чем на ±20%.

Правила третье и четвертое справедливы для моментов от расчетной нагрузки. А. М. Розенблюмас предупреждает, что они были получены по результатам испытаний балок, имеющих средние, а не расчетные свойства, и что в третьем правиле можно было бы допустить отклонение до 47% первоначальной величины. Представляется, однако, что для обычного случая это значение будет завышенным, так как здесь необходимо учитывать не только случайный характер поведения нагрузки и самого сечения, но также и случайный характер распределения моментов.

Другие правила ставят корректировку моментов в зависимость от других факторов, особенно от степени армирования. Приведем некоторые из них:

5) корректировка моментов в соответствии с третьим правилом разрешается лишь в том случае, когда проектные моменты М в критических сечениях уменьшаются по сравнению с моментами М_уп, полученными упругим расчетом. При этом выполняется условие

где

Для рамных конструкций в четыре и более этажа, у которых возможна потеря устойчивости, поправка δ не может превышать 0,1 (проект новых английских норм 1969 г.);

6) распределение опорных или узловых моментов, использованное при проектировании, не должно отличаться от моментов М_оп.уп упругого расчета более чем на ±δ_макс М_оп.уп. Коэффициент δ_макс определяют по формуле

где μ и μ' — степень армирования сечения соответственно растянутой и сжатой арматурой; μ_гр — предельная степень армирования, при которой одновременно происходит разрыв арматуры и раздробление бетона сжатой зоны.

При этом должно быть неравенство

[118, 148] и др. В особых случаях указанные правила не позволяют использовать перераспределение усилий вообще или же допускают это в ограниченном размере. Подобное может быть в случае, если изменение опорного или узлового момента при сохранении равновесия сил приводит к изменению момента на то же значение.

В последнем случае (например, при ветровой нагрузке) следует исходить из наименьшего момента в узле. Если он равен 0, то допустимое отклонение в этом узле будет нулевым, поэтому и в остальных узлах моменты корректировать нельзя.

Если изгибающие моменты возникают вследствие вынужденных деформаций (скажем, от температурных воздействий), то приведенные правила позволяют уменьшать все моменты на величину допустимого отклонения.

Практическое использование этих правил можно показать на примере неразрезной двухпролетной балки, загруженной временной равномерно распределенной нагрузкой (рис. 91). Наиболее неблагоприятное воздействие на сечение в пролете получим, если загрузить переменной нагрузкой лишь один пролет. В загруженном пролете эпюра моментов будет параболической, а в незагруженном изменение момента будет иметь линейный характер (пунктир). В соответствии с правилом 1 изменим абсолютное значение момента на опоре, увеличив его на 25%. К этому новому опорному моменту приспособим распределение всех остальных моментов (сплошная линия). Чтобы получить неблагоприятное воздействие на опорное сечение, загрузим оба пролета (пунктирная линия эпюры моментов). Абсолютное значение опорного момента уменьшим на 25% и получим новое распределение (сплошная линия). Зная оба распределения, полученные после корректировки опорных моментов, построим линии максимальных и минимальных моментов (жирные сплошные линии). Видим, что с помощью корректировки нам удалось уменьшить разрушающий момент на опоре на 25%, а в пролете примерно на 12%. Ориентировочно суммарные разрушающие моменты уменьшатся на 18%, что позволит реализовать экономию арматуры. Приведенный пример показывает преимущества расчета, в котором используется перераспределение усилий при действии временной нагрузки.

В основу правил 1—3и5—7 положен один тот же принцип: корректировке подвергаются моменты, полученные упругим расчетам. Однако допустимые отклонения в распределении моментов заметно отличаются одни от других, а дополнительные ограничения будут самые различные. С позиций практического расчета необходимо отдать предпочтений правилам 1, 6 и 7, нежели правилам, контролирующим все критические сечения.

Наиболее удобным при этом представляется правило 1, применение которого, однако, требует выполнения дополнительного контроля значения деформации и ширины раскрытия трещин. Использование правила 4 неоправданно усложняет расчет. Если определять распределение моментов с учетом уменьшающейся жесткости элемента при изгибе вследствие возникновения в нем трещин, то распределение моментов при исчерпании несущей способности конструкции можно рассчитать прямо без всяких дополнительных коррекций.

Обобщая вышесказанное, можно сформулировать такое правило: 8) изгибающие моменты от расчетных нагрузок М, использованные при расчете критических сечений (с использованием перераспределения усилий), могут отличаться от моментов М_уп, полученных из упругого расчета (предполагается, что все сечения работают полностью, включая растянутый бетон), для каждого исследуемого вида нагрузки максимум на величину ±δ_макс М_уп. При этом должно быть соблюдено условие равновесия между внешними и внутренними силами, а также условие равновесия в узлах конструкции. Коэффициенты δ_макс приведены в табл. 5. Моменты от ветровой нагрузки либо от других подобных воздействий в расчет не берутся.

получится больше 0,2 для тех критических сечений, где

, то потребуется, чтобы для изгибаемых и внецентренно-сжатых или растянутых с большим эксцентрицитетом элементов выполнялось условие

В уравнениях (118) и (119) ΣМ_уп есть сумма моментов, подсчитанных по теории упругости, а ΣМ — сумма скорректированных моментов от воздействия неблагоприятных нагрузок; х_р — высота сжатой зоны сечения, вычисляемая для стадии разрушения при определении несущей способности сечения.

Отказ от корректировки моментов, вызванных ветровыми воздействиями, объясняется причинами теоретического плана (проблемы устойчивости), а также практическими соображениями (трудности при расчете). Чтобы скорректировать такие моменты, необходимо провести подробнейший расчет в соответствии с рекомендациями главы 4 и возможным учетом потери устойчивости. Таким образом, теория упругости останется и в будущем важным инструментом при расчете железобетонных рамных конструкций. Практическое использование перераспределения тесно связано с этой теорией.

Ограничения для предварительно-напряженных железобетонных конструкций. Результаты различных теоретических и экспериментальных исследований [84, 156, 159] показывают, что в статически неопределимых предварительно-напряженных железобетонных конструкциях нельзя ожидать полного перераспределения усилий. Не исключено, что действительная несущая способность конструкции окажется меньше, чем это следует из теории упругости, что объясняется специфическими особенностями предварительно-напряженных конструкций, на которые обращалось внимание в главе 2. Перечислим их основные отличия от обычных железобетонных конструкций.

Прежде всего нужно помнить об отличиях в работе напрягаемой и обычной арматуры, вытекающих из их рабочих диаграмм. Известно, что сечения предварительно-напряженных железобетонных конструкций разрушаются преимущественно вследствие раздробления бетона сжатой зоны и лишь в некоторых случаях — вследствие разрыва арматуры. Наконец, усилие предварительного напряжения влияет на характер зависимости [М, х] и вызывает в статически неопределимых конструкциях вторичные моменты.

Так как в предварительно-напряженном железобетоне невозможно исключить случаи разрушения от сжатия, то и ограничения степени армирования теряют смысл и могут лишь осложнить процесс проектирования. Вместо этого следует обратить внимание на ограничивающие условия другого типа, распространяющиеся на отдельные пролеты конструкции, а не на сечения При этом можно легко учесть влияние усилия предварительного напряжения и вторичных моментов. К сожалению, невозможно сформулировать общее правило, следуя которому можно было бы обеспечить полное перераспределение усилий. К тому же это чрезмерно ограничило бы возможности конструирования. Тем не менее можно поставить условия, чтобы соотношение U: U_макс не опускалось ниже определенного предела и чтобы всегда U было больше U_yn.

Теоретические исследования некоторых типовых случаев, подтвержденные результатами экспериментальных исследований, доказывают, что соотношение U: U_макс не бывает ниже 0,9, если в непосредственно загруженных пролетах коэффициент диспропорции несущей способности ψ_р соответствует условию

Коэффициент ψ_р определяют по формуле

где в числителе — соотношение разрушающих моментов в критических сечениях, а в знаменателе — соотношение моментов от внешней нагрузки, подсчитанное то теории упругости.

Сечения I и II обозначены так, чтобы соотношение |М_Iуп: М_IIуц| было меньше единицы. Моменты М_Iуп и М_IIуц должны иметь обратные знаки. Если в исследуемом пролете возможно существование двух значений коэффициента ψ_р, то условие (120) распространяется на каждое из них. В формуле (121) отсутствуют вторичные (моменты, так как предполагается, что в соответствии с известными положениями о влиянии линейной трансформации пучка на несущую способность U_макс, подсчитанную по методу предельного равновесия (см. главу 2, п. 2), их влияние при исчерпании несущей способности не проявится, хотя U<U_макс

Правило для проектирования будет следующим:

9) если при расчете предварительно-напряженной железобетонной конструкции не используется более точный способ решения, изложенный в главе 4, то ее следует проектировать так, чтобы выполнялось условие (120), предполагая значение несущей способности U=0,9U_макс, но не менее значения U_yn, определенного расчетом по теории упругости.

Формулируя условия, обеспечивающие выполнение неравенства U≥ U_yn, необходимо различать два случая, отличающиеся характерам перераспределения усилий (возрастающее или уменьшающееся перераспределение усилий, см. главу 1, п. 2).

Можно еще раз проверить утверждение, что линейная трансформация пучка при использовании метода предельного равновесия не влияет на несущую способность конструкции (глава 2, п. 2). Покажем это на примере балки с односторонним защемлением, на которую посредине пролета действует сила Р. Балка заармирована криволинейным пучком сечением F_н (рис. 92,а). Механизм ее разрушения имеет два шарнира, в каждом из которых возможен виртуальный поворот в соответствия с рис. 92,б. Обозначив через М_р1 и М_Р2 разрушающие моменты соответственно в сечениях над опорой и в пролете, можем записать уравнение виртуальных работ:

откуда выведем формулу для определения несущей способности балки

Если предположить, что в момент разрушения напряжение в рабочей арматуре обоих сечений будет одинаковым (σ_н), то для разрушающих моментов можем написать следующие уравнения:

Из предположения равенства напряжений σ_н в обоих сечениях следует, что

Тогда выражение в скобках уравнения (128) получит такой вид:

Если же теперь линейно трансформировать положение пучка, изменяя его эксцентрицитет в заделке на значение ?е_н1 то его эксцентрицитет в пролете изменится на ¹/₂?е_н1. Полезная высота сечения h₀₂ меняется в обратном направлении по сравнению с h₀₁ так как значение h₀₂ замеряем от верхней, a h₀₁ от нижней грани балки. Полезную высоту сечений после линейной трансформации пучка можно подсчитать следующим образом:

Найдем теперь суммуПолучим, что

откуда следует, что суммапри линейной трансформации пучка не меняется. Не меняется и сумма моментов M_p1+2M_р2, что свидетельствует о том, что линейная трансформация пучка не влияет и на несущую способность Р_р, вычисленную из уравнения (128).

Показанное выше на примере балки с односторонним защемлением одного конца будет справедливым и для других статически неопределимых конструкций, в чем можно легко убедиться при использовании метода предельного равновесия. Точное решение покажет, что линейная трансформация пучка изменит несущую способность конструкции, так как предположение об одинаковости напряжений в рабочей напрягаемой арматуре при разрушении не оправдается. Кроме того, линейная трансформация пучка изменит картину распределения вторичных моментов, которые в свою очередь повлияют на перераспределение усилий в начальной фазе. Несмотря на это, на стадии предварительного проектирования предварительно-напряженных конструкций можно использовать приведенные выше заключения.

Порядок выполнения расчета. Рассчитывая конструкцию методом предельного равновесия с ограничениями, принятыми в главе 5, п. 2, поступаем в сущности так же, как и при расчете по теории упругости. В большинстве случаев требуется запроектировать сечения. Покажем, в какой последовательности необходимо поступать при использовании правил (6), (7), (8):

а) определяют распределение моментов от действия отдельных нормативных нагрузок методами теории упругости;

б) устанавливают расчетные значения усилий (моментов, нормальных сил) в критических сечениях умножением значений, полученных в пункте «а», на коэффициенты перегрузки;

в) корректируют моменты от воздействия отдельных видов нагрузок. При этом должны выполняться условия правил (6), (7) и (8);

г) устанавливают моменты от действия неблагоприятной комбинации нагрузок, полученные из расчета по теории упругости, а также от нагрузок, перечисленных в п. «в». На эти усилия ведут расчет сечений;

д) в случае необходимости проверяют выполнение условия (119);

е) проверяют ширину раскрытия трещин в первую очередь в тех сечениях, где скорректированные моменты более всего отличаются от подсчитанных по теории упругости;

ж) при необходимости проверяют величины деформаций.

Если вместо правила (8) будет использовано какое-либо из правил (1—3) или (5—7), то порядок действий будет тот же самый.

В пп. «а» и «б», если это выгодно, возможны следующие вариации: вычисляют значения расчетных нагрузок; определяют распределение моментов в соответствии с теорией упругости от воздействия отдельных видов расчетных нагрузок.

Так как в пп. «а», «б», а также в вышеперечисленных возможностях еще не учитывается нелинейный характер работы конструкции, то результат решения будет практически одинаковым. Отличие сводится лишь к введению в расчет постоянных нагрузок с коэффициентами перегрузок (см. главу 3, п. 3). В настоящее время отсутствуют теоретические обоснования, в которых бы отдавалось предпочтение одному из описанных выше способов.

При оценке несущей способности существующей конструкции (например, при воздействии нагрузки, на которую она не рассчитывалась) ход решения будет тот же самый, за тем только исключением, что в этом случае отпадает необходимость назначать параметры сечений. Распределение разрушающих моментов здесь также будет известно.

Исходные данные для расчета. При расчете методом предельного равновесия приходится в сущности оперировать разрушающими моментами M_р, которые приравниваются к моментам, соответствующим исчерпанию несущей способности конструкции. Способ вычисления значений M_р зависит от принятой при проектировании методики. По аналогии с главой 4 при проектировании используют методы отдельных коэффициентов надежности для расчетных нагрузок или коэффициенты условий воздействия. В других случаях в расчет вводят соответствующие центральные значения отдельных величин. Например, при установлении несущей способности существующей конструкции используют данные, полученные при ее обследовании, и т. д.

Аналогично поступают при проверке степени армирования или при вычислении момента образования трещин M_т, необходимого для оценки выполнимости условий, изложенных в главе 5, п. 2.

Если нагружение конструкции может привести к потере устойчивости, то следует применять решение, изложенное на стр. 106. Расчетная длина l₀, представляемая в расчет, должна быть не меньше расстояния между предполагаемыми пластическими шарнирами.

Расчет железобетонных рамных конструкций в пластической стадии.
Перераспределение усилий.
М. Тихий, Й. Ракосник
перевод с чешского Б.М. Сергеенко
1976