|
3. МЕТОД ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ С ОГРАНИЧЕНИЕМ ПОВОРОТОВ
Принцип метода. Метод предельного равновесия позволяет оценивать способность к деформациям критических сечений, в которых образовались шарниры. Эта идея, высказанная Е. Беннетом, Н. Куком, проста, однако, несмотря на свое, практическое подтверждение, она до сих пор не использовалась. Вернемся к исходным предпосылкам главы 5, п. 1. Оставим без изменения предположения «1», «4», «5», а оставшиеся два изменим следующим образом: 2) в момент разрушения п раз статически неопределимой конструкции в ней будет п+1 шарнир; 3) в одном из шарниров (обозначим его, например, цифрой 1) произойдет разрушение сечения, т. е. в нем
а в шарнирах под номером 2 до n+1 будет
причем между Мi и θi существует зависимость
Как и в предшествующем изложении, символом Мр обозначим разрушающий момент, а θ и θР будут иметь те же значения, что и в главе 4.
Зная поворот θp1 в сечении 1 и геометрию предполагаемого механизма разрушения, можно вычислить повороты θ2...θn+1 затем из функциональной зависимости (130) определить моменты в шарнирах 2...п-+1. Несущую способность конструкции определим из уравнения равновесия сил.
Метод предельного равновесия с ограничением значения поворотов представляет собой комбинацию методов, изложенных в главе 4, п. 1 и главе 3, п. 1, причем первый из них несколько упрощается благодаря введению допущения об абсолютной жесткости участка конструкции между шарнирами (деформации концентрируются в шарнирах). Во втором методе производится более сложное ограничение значений виртуальных поворотов. Таким образом, можно утверждать, что в данном случае используются преимущества обоих методов.
К настоящему времени (1973 г.) разработка метода еще не закончена, но возможности использования его в будущем весьма широки. Особенно выгоден этот метод при проектировании предварительно-напряженных конструкций.
Зависимость [М, θ]. Функциональную зависимость между изгибающим моментом и пластическим поворотом в шарнире
[М, θ] можно вывести из зависимости величины момента от общего поворота сечения [М, v]. Предположим, что эта зависимость имеет форму, изображенную на рис. 93,а.
Тогда зависимость [М, θ] получит вид в соответствии с рис.
93,б. По аналогии с зависимостью [М, x] (см. рис. 12) можно построить приведенную диаграмму зависимости [М, θ] (рис. 94). Математически эту диаграмму выражает следующее равенство:
где Мгр/Мр — величина постоянная; f(θ/θp)—обычная непрерывная функция.
Зависимость (131) для железобетонных конструкций можно считать линейной (отрезок прямой на рис. 95). В аналитической форме ей отвечает соотношение
При этом момент Мр в отдельных критических сечениях определяют так же, как в главе 4, п. 1, а поворот θР — в соответствии с указаниями главы 4, п. 3.
Е. Беннет, Н. Кук и Л. Нотон, анализируя результаты многочисленных испытаний, пришли к выводу, что у предварительно-напряженных балок свойства сечения не влияют на характер зависимости (131). Так как у сечений предварительнонапряженных железобетонных конструкций значение θР относительно меньше, чем у обычных, то представляется полезным общую зависимость (131) заменить двумя отрезками прямых, а именно:
Для значений Мр и θР остается в силе все сказанное ранее.
4. МЕТОДЫ, ДОПОЛНЕННЫЕ УСЛОВИЯМИ ЭКСПЛУАТАЦИОННОЙ СПОСОБНОСТИ
Принцип методов. Обычно при пользовании объединенным правилом, изложенным в главе 5, п. 2 сталкиваются с тем, что отсутствуют какие-либо указания относительно размещения эпюры моментов. При этом руководствуются косвенными указаниями, содержащимися в главе 5 или 6. С одной стороны, это выгодно, так как при расчете на прочность имеется свобода, с другой же — всегда нужно помнить о том, что должны выполняться отдельные ограничивающие условия. Этот недостаток пытаются устранить методами, в которых в дополнение к имеющимся условиям предельного равновесия добавляют другие, так называемые условия применимости. Теоретические основы такого решения сформулированы С. М. Крыловым, В. Г. Назаренко и Л. И. Яриным [24,1]. В них авторы исходят из условий отдельных предельных состояний. Другая группа методов основывается на коэффициентах безопасности, назначение которых— гарантировать эксплуатационную пригодность конструкции (что характеризуется, например, возникновением первого пластического шарнира), а также обеспечить необходимую несущую способность конструкции. Этими методами обычно рассчитывают только критические сечения конструкции, а не все сечения, как это требуется в случае использования объединенного правила (см. главу 5, п. 2).
Разработкой этих методов занимались многие авторы: В. Петку [132, 134], М. Кон [59, 60, 61, 62], А. Ружиньский, М. Кон, Д. Грирсон [64, 65], Д. Манро, Ю. Кришнамурти. Рассмотрим здесь лишь основные принципы. Если читателя заинтересуют подробности, он сможет найти их в цитируемых работах.
При установлении необходимых разрушающих моментов исходят обычно или из назначаемых критериев надежности, препятствующих наступлению предельного равновесия, или из назначаемых критериев, гарантирующих обеспечение эксплуатационной пригодности конструкции. Кроме того, эти критерии можно дополнить оптимальными условиями, обеспечивающими, например, минимальный расход арматуры. В расчете условий совместности в прямой форме нет, однако, как будет показано позднее, их учитывают отдельно.
Критерии надежности могут быть различные. Это зависит от того, в скольких механизмах разрушения требуется обеспечить одинаковую надежность. При различных механизмах разрушения (балочные, сдвиговые и т. д.) желательно знать, какие именно критерии нам потребуются. Критериев, гарантирующих эксплуатационную пригодность конструкции, также может быть несколько, но все они исходят из отношения нагрузок, при воздействии которых образуется первый пластический шарнир, к нагрузкам, соответствующим исчерпанию несущей способности конструкции. При этом не учитываются ширина раскрытия трещин или деформации при действии эксплуатационных нагрузок. Здесь важно одно — будет ли обеспечена эксплуатационная пригодность конструкции при соблюдении определенной степени надежности и гарантии возникновения первого пластического шарнира.
В зависимости от того, каким образом прикладываются постоянная и временная нагрузки, а также от предполагаемого характера зависимости [М, х] М. Кон различает четыре основных способа решения. Рассмотрим здесь метод, который ближе всего к способу проектирования, заложенному в Международных рекомендациях [291.
Методы FRD и LRD. По М. Кону для каждой конструкции можно отыскать два различных распределения разрушающих моментов, которые взаимно отличаются характером предполагаемого разрушения, т. е. наступит ли одновременно во всех частях конструкции полное исчерпание несущей способности или же механизм разрушения возникнет только в одной из них. На примере неразрезной балки покажем, каким образом можно прийти к обоим оптимальным решениям. Используем те же предположения, что и при рассмотрении метода предельного равновесия.
Рассчитывая неразрезную балку, обычно определяют разрушающие моменты во всех ее критических сечениях. В данном случае критическими будут сечения над опорами в пролетах. Общее число критических сечений пкр в неразрезной балке подсчитывают по формуле
где m — число механизмов разрушения (равно количеству пролетов N); п — степень статической неопределенности конструкции.
и подставим значение bi в формулу (136):
Выражения (136) и (138) отличаются одни от других лишь вторыми членами правой части. Величина — единственная неизвестная в уравнении (138). Таким образом, всего будет пкр неизвестных значений хi, которые нужно определить.
Для несущей способности неразрезной балки будет лучше всего, если обеспечить одинаковую меру безопасности против разрушения для каждого основного механизма разрушения (т. е. для каждого пролета). Что касается пригодности балки к нормальной эксплуатации, то лучше всего обеспечить одинаковую надежность всех критических сечений в части достижения в них разрушающего момента Mpi. Добиться полного выполнения обоих этих пожеланий обычно невозможно, так как первое дает т уравнений, второе nкр+1, т. е. всего m+nкр+1 уравнений, в то время как число неизвестных всего лишь пкр. Поэтому требования нужно переработать так, чтобы задача решалась однозначно. В зависимости от того, на что делается больший упор, различаем два метода — FRD и LRD.
Коэффициенты λi характеризуют положение пластического шарнира в пролете (рис. 96), а коэффициент φк определяет максимальный момент М0 на простой балке (здесь для упрощения
Метод FRD. В этом методе требуется, чтобы при всех механизмах разрушения обеспечивалась одинаковая гарантия против полного исчерпания несущей способности конструкции. Уравнение предельного равновесия для k-гo основного механизма разрушения запишем так:
предполагается, что нагрузки G и Р одного типа). Подставив в данное уравнение вместо MPi значение Mi из уравнения (138), получим, что
Если в исследуемом пролете действует только постоянная нагрузка, то
и уравнение (139) упростится, приняв следующий вид:
относящийся к k-му механизму разрушения. Обычно в неразрезных балках в каждом пролете имеется три критических сечения, которым соответствуют три значения параметра xi Рассмотрев рис. 96, можем записать, что
и уравнение (140) перепишется в такой форме:
Всего будет т уравнений данного типа. Недостающие п уравнений получим, потребовав, чтобы для максимального числа критических сечений (т. е. для nкр — т + 1) обеспечивалась определенная минимальная гарантия от достижения в них значения разрушающего момента. Обозначив в определенном порядке критические сечения, можем записать, что метод FRD требует, чтобы
Можно доказать, что параметр х0 есть наименьший из параметров хk, который подсчитывают из отдельных уравнений (141), если в них принять
Тогда
Параметр х0 относят ко всем сечениям над опорами и к одному сечению в пролете (к тому, для которого значение хk будет наименьшим). Если теперь подставим в уравнения (141) х0
вместо xi-1 и xi+1 то в т—1 уравнениях останется по одному неизвестному xi и задача будет решена.
Метод LRD. Здесь требуется сделать так, чтобы во всех критических сечениях была обеспечена одинаковая гарантия от достижения в них разрушающего момента. Тогда для всех i
Уравнение (141) перейдет в неравенство
Понятно, что решение системы неравенств (143), соответствующих одновременно требованию (142), трансформируется в соотношение
Более подробный анализ показывает, что выдерживание этого соотношения не всегда ведет к более выгодному решению, поэтому требования метода LRD рекомендуется преобразовать следующим образом:
сохранить определенную минимальную надежность при каждом механизме разрушения, хотя не обязательно, чтобы она была одинаковой для всех механизмов;
все сечения над опорами должны иметь одинаковую гарантию от достижения в них разрушающего момента; то же самое относится и к сечениям в пролете. При этом надежность сечений в пролетах должна быть большей, чем сечений над опорами;
при эксплуатационной нагрузке в конструкции не должны образовываться пластические шарниры.
Если значения xi на опорах обозначим нечетными индексами (1, 3, ... 2j+1), а в пролетах — четными (2, 4,... 2j), то сформулированные выше условия можно записать в аналитической форме:
После преобразования уравнения (145) получим для k-го механизма разрушения следующее выражение:
Формулы (147) — (149) можно проиллюстрировать графически, как это сделано на схеме, представленной на рис. 97. Точка (х1, х2) должна находиться внутри заштрихованной области. Наиболее экономное расходование материала получается, если некоторые точки расположатся на отрезке прямой АВ.
М. Коном был выполнен тщательный анализ , на основании которого рекомендовано при расчете неразрезных балок с одинаковыми пролетами пользоваться коэффициентами х1 и х2, взятыми из табл. 5.
Условие совместности. Для методов FRD и LRD М. Коном были выведены условия совместности, обеспечивающие выполнение исходных предпосылок расчета. Разрабатывая эти условия, которые здесь для краткости изложения не приводятся, М. Кон рассмотрел пластический поворот сечения балки с одним защемленным концом, как пример наиболее неблагоприятный.
Исходное условие
где r — коэффициент перераспределения усилий, определяемый из соотношения
где Gp — постоянная расчетная нагрузка; РрI — временная нагрузка в момент возникновения первого пластического шарнира; Pр•макс — временная нагрузка при полном исчерпании несущей способности конструкции.
В уравнении (150) с — постоянная, характеризующая форму эпюры пластических кривизн; lпл — длина пластической зоны; l— длина исследуемого пролета; εб.р — предельная относительная деформация бетона (со знаком минус); σт и Еа —соответственно предел текучести и модуль упругости арматуры; хр и хгр — высота сжатой зоны сечения соответственно при разрушении и при достижении в арматуре предела текучести.
Значение lпл можно вычислить из уравнения (64), учитывающего полноту эпюры пластических кривизн, где с= 1. Значение хр определим при подсчете момента Мр, а значение хгр получим из расчета упруго работающего сечения, бетон которого исключен из работы на растяжение. Наконец, значения εб.р и σт принимают в зависимости от используемого метода расчета. Так как коэффициент перераспределения усилий для определенного соотношения постоянной и временной нагрузок ограничивается, например, величиной коэффициента перегрузки, то выполнение условия (150) ведет к ограничению степени армирования. Любопытно, что из этого условия следует благоприятное влияние повышения марки бетона, что противоречит смыслу диаграммы, показанной на рис. 90. В итоге в среднем максимальные значения степени армирования выходят одинаковыми
Попытаемся весьма кратко охарактеризовать еще один эмпирический метод, предложенный И. Гийоном. По аналогии с эпюрой разрушающих моментов для исследуемого пролета рамы можно построить моментов эксплуатационной пригодности Мэкс (рис. 98). Если загрузить пролет так, чтобы произошло полное перераспределение усилий, то на участках, для которых |М|>Мэкс, возникнут пластические зоны. У. Гийон рекомендует размеры этих зон максимально ограничивать. Прежде всего должно выполняться условие
где Мр1 — разрушающий момент в заделке; Мр2 — разрушающий момент в пролете; Мро, макс — максимальный момент от действия данной нагрузки на простую балку (с учетом меры надежности либо другого коэффициента).
Далее И. Гийон рекомендует размещать эпюру моментов от эксплуатационной нагрузки так, чтобы она в предельном случае лишь касалась эпюры моментов эксплуатационной пригодности (рис. 99). Для определения моментов эксплуатационной пригодности им предложено воспользоваться следующим выражением: Мэкс = 0,8 М.
При таком значении Мэкс и центральном значении меры надежности, равном 1,6, допустимое изменение момента над опорой или в пролете составляет примерно 26% максимального значения при мере надежности от 2 до 41 %.
Метод Гийона прост, чем и выгоден, однако его применение ограничено кругом конструкций, для которых он специально разрабатывался.
Расчет железобетонных рамных конструкций в пластической стадии.
Перераспределение усилий.
М. Тихий, Й. Ракосник
перевод с чешского Б.М. Сергеенко
1976 |
