| 1. ТЕОРИЯ РАСЧЕТА
Общее уравнение совместности. При изучении статически неопределимых конструкций, сечения которых работают упругопластически, можно в принципе воспользоваться теми же методами, что и при расчете по теории упругости (деформативные методы, методы Кросса и т. д.). В данном же, случае решение всегда получается более сложным, так как жесткости отдельных элементов зависят исключительно от напряженного состояния конструкции, а оно, в свою очередь, зависит не только от нагрузки, но и от ее расположения. При этом выполнить точный расчет практически невозможно и приходится пользоваться способом итерации.
Решение можно облегчить, используя ЭВМ. В принципе для решения применяют методы двух типов. Так называемые прямые методы состоят в том, что все исходные величины, описывающие деформативные свойства конструкции (например, коэффициенты жесткости стержней), устанавливаются с учетом их упругопластического поведения [22, 40, 53]. Хотя эти методы в общепринятой практике проектирования не используются, тем не менее они очень удобны с точки зрения теоретического анализа. Для практического применения при расчете более пригодны сепарационные методы, хотя и они достаточно сложны. В сепарационных методах пластические, или, точнее говоря, нелинейные свойства конструкции, отделяются от упругих. Дальнейший разбор их произведем исходя из силового метода, основные принципы которого применительно к конструкции с упругим поведением хорошо известны. Используем при этом принцип виртуальной работы [45].
Рассмотрим n раз статически неопределимую плоскую систему. После высвобождения п связей получим основную статически определимую систему. Предположим, что достичь
этого можно только введением шарниров, а не каким-либо другим способом. Обычно оказывается достаточно вести п шарниров. Например, 9 раз статически неопределимую сопряженную раму (рис. 48,а), запруженную вертикальной и горизонтальной нагрузками, можно перевести в статически определимую введя 9 шарниров (ом. рис. 48,б). Пусть в каждом шарнире i или k действуют навстречу один другому два равных по величине момента Хi или Xk, заменяющие влияние ликвидированных связей. Взаимный поворот сечений, примыкающих к шарниру, при одновременном воздействии внешней нагрузки должен равняться нулю. Значение этих моментов пока что неизвестно. Таким образом, в шарнире 6 сопряженной рамы (см. рис. 48, в) будут действовать два момента Недопустим, что на некоторых элементах исследуемой системы будут возникать пластические зоны. По методическим соображениям разделим их на две группы. К первой группе отнесем зоны, прилегающие к шарнирам основной статически определимой системы, а ко второй группе — зоны, лежащие в местах, где никакого шарнира не предполагается (для их отличия во второй группе введем над цифрой штрих). Пластические составляющие кривизн xпл, возникающие в этих зонах, вынесем ня сторону растянутых волокон (ом. рис. 48,б). Поскольку распределение моментов заранее неизвестно, то просто назначим направление действия моментов Хi, Xk и размещение эпюры пластической составляющей xпл. В этом нам поможет имеющийся опыт расчета по теории упругости.
Рассмотрим теперь шарнир i, когда на основную систему действуют все принятые внешние нагрузки, включая пару моментов Хi, Xk, в то время как в зонах критических сечений возникают пластические деформации. По известному принципу виртуальная работа внешних сил должна быть равна виртуальной работе внутренних сил. Поэтому, пренебрегая влиянием нормальных и поперечных сил на деформации, можно записать, что
где Хi — момент в шарнире i, Мxi — изгибающие моменты, вызванные моментом Хi в рассматриваемой основной системе; v — взаимный поворот сечений, примыкающий к шарниру i (вызванный внешней нагрузкой совместно с моментами Хi, Xk); xds — взаимный поворот концевых сечений отрезков стержней длиной ds.
Кривизна линии изгиба х вызвана внешней нагрузкой, включая и моменты Хi, Xk. Для сохранения в каждой точке i плавности линии изгиба необходимо, чтобы прилегающие к ней сечения не поворачивались относительно друг друга, т. е. чтобы угол v равнялся нулю. Это значит, что и виртуальная работа внешних сил в левой части уравнения (32) будет равна
Подобное уравнение можно составить для каждого шарнира основной статически определимой системы. Таким образом, получим систему п уравнений, решая которые можно определить неизвестные Х1,Х2,...,Хп. Понятно, что при упругой работе конструкции, т. е. если ψi=0; θi=0, получим систему канонических уравнений силового метода.
Обратим внимание на знаки деформативных величин. Для коэффициентов δio и δik действует правильно, применяемое в силовом методе. Построим на отдельных элементах системы эпюры моментов на стороне растянутых волокон. Если эпюра моментов Mi и Мо или же Mi и Mk расположена по одну сторону элемента, то интеграл, представляющий на исследуемом участке соответствующий коэффициент, будет величиной положительной. Если же эпюры моментов окажутся по обе стороны элемента, то интеграл будет величиной отрицательной. Значение δii будет всегда положительным. Значения δio, δii, δik можно определить несколькими методами.
Аналогично найдем знаки углов поворота ψi, θi. Если эпюра пластической кривизны хпл расположена с той же стороны, что и эпюра момента Mi, то углы поворота будут положительного знака, если же картина обратная, то знак утла поворота будет отрицательным. Момент MΩi подставляется в формулы в абсолютной величине. Поворот θi всегда положительный. Установление углов пластических поворотов всегда более трудоемко, чем определение значений δio, δii, δik, так как ψi' и θi являются функциями нагружения данной зоны.
Углы поворотов ψi' и θi имеют одно и то же физико-механическое значение и различаются здесь лишь по методическим соображениям. Поэтому ниже будем говорить только об угле пластического поворота θi, или же об общем угле поворота v, причем наши выводы будут распространяться и на ψ. Здесь важно уяснить, что представляет всегда пластическую деформацию между шарнирами основной системы.
Для иллюстрации запишем уравнение (39) для шарнира 6 рамной системы рис. 48:
Уравнение (39) (речь идет о системе уравнений) можно считать основным уравнением расчета статически неопределимых железобетонных конструкций в пластической стадии работы. С его помощью можно вычислить распределение усилий в конструкции для любой стадии нагружения, а не только при достижении ею несущей способности. Недостатком его является сложность решения системы уравнений, так как углы поворота ψi' и θi представляют собой функции неизвестных Xi. Решение осуществимо лишь методом итерации, и ото достаточно сложно, так как неизвестно заранее, какая коррекция потребуется для отдельных углов пластического поворота. Поэтому использование общих уравнений целесообразно лишь для конструкций с низкой степенью статической неопределимости (если, конечно, имеется в виду конструкция, для которой точный способ расчета оправдывает себя) и еще в том случае, когда необходимо проверить какой-то упрощенный метод расчета или же проконтролировать экспериментальные результаты.
Уравнение типа (39) можно составить для пространственной системы. Обычно в расчетах не требуется учитывать жесткость на кручение или пластические повороты в шарнирах, подвергающихся кручению, так как жесткость на кручение железобетонных сечений резко падает сразу же после возникновения трещин и становится значительно меньше жесткости при изгибе. Влияние кручения нужно учитывать лишь тогда, когда это необходимо, чтобы обеспечить равновесие сил. Исследованием работы пространственных рам с помощью собственного метода занимался А. Бейкер [44, 48]. Используя этот метод, А. Морейро да Роха [121] изучал работу решетчатых конструкций.
В инструкции по расчету статически неопределимых железобетонных конструкций рекомендуется применять уравнение (39) для расчета сборных и сборно-монолитных конструкций в стадии эксплуатации. В местах расположения стыков а конструкции предполагаются упругие шарниры, в которых под действием моментов Xi происходит поворот
где В — жесткость сечения в месте расположения шарнира (при исключенном растяжении); lт — расстояние между трещинами.
В областях между шарнирами возникновение трещин не ожидается, поэтому всюду ψi' =0.
Решение, аналогичное описанному выше, разработали Н. А. Бородачев и С. М. Крылов. Оно также исходит из общих уравнений совместности, которые, однако, построены так, чтобы из них можно было получить не только неизвестные Xi, но и деформации конструкции (например, прогибы под грузом). Эти авторы применили смешанный метод расчета, предложенный А. А. Гвоздевым, дополнив его членами, учитывающими нелинейность деформации конструкции.
На условиях совместности построил свои решения и Р. Рэбих. Чтобы определить кривизны х при однократном загружении (а также и другие деформации), он применил выражение
где М — общий изгибающий момент; ?М — приращение изгибающего момента после возникновения трещин; ВI— жесткость полного сечения; ВIII — жесткость, соответствующая приращению ?М.
Приняв рабочую диаграмму сечения билинеарной, получим, что ВIII — величина постоянная. Метод Р. Рэбиха можно использовать при различных способах расчета рамных конструкций, но и здесь необходим итерационный подход.
Поперечные силы. Под влиянием пластических деформаций изменяется также и характер распределения поперечных сил. Известное выражение Q = dM/dx остается справедливым и в дальнейшем, поэтому поперечная сила легко определяется для любого сечения X. Можно также записать, что
где Qo — поперечная сила в простой балке; М1yn и М3yn — опорные моменты (или моменты в заделке), подсчитанные по теории упругости; ?Q — изменение поперечной силы, вызванное пластическими деформациями.
Для последнего справедливо выражение где ?М1 и ?М3 — отклонения моментов от значений М1yn и М3yn, возникающие в результате перераспределения усилий.
Значение ?Q — постоянное на длине исследуемого элемента, поэтому в некоторых сечениях в результате перераспределения усилий поперечные силы будут больше, а в других меньше по сравнению с соответствующими величинами, подсчитанными по теории упругости. Рассмотрим, каким образом это может сказаться на проектировании.
С ростом нагрузки все три составляющие поперечной силы в уравнении (40) изменяются. Соотношение между первыми двумя составляющими является постоянным и с ростом нагрузки поперечная сила, подсчитанная по теории упругости, увеличивается. Если учесть, что значение составляющей ?Q, возникающей одновременно с образованием пластической зоны, будет мало по сравнению с двумя первыми составляющими, то изменение зависимости поперечной силы от нагрузки вплоть до момента разрушения окажется монотонным, т. е. поперечная
сила достигнет своего максимума в момент исчерпания несущей способности. Это утверждение справедливо для сечений, в которых действуют большие поперечные силы. Напротив, там, где поперечные силы малы (к примеру в зоне максимального межопорного момента в элементах под равномерно распределенной нагрузкой), решающее влияние будет оказывать составляющая ?Q, а сила Q при растущей нагрузке может даже поменять знак. С точки зрения надежности элемента при действии поперечных сил важны лишь области действия больших Q.
При назначении поперечной арматуры важна общая поперечная сила QH.П, т. е. результирующая скалывающих напряжений, которые действуют в нейтральной плоскости элемента (н. п). Сила QH.П выражает объем фигуры скалывающих напряжений τ (рис. 50). Для определения суммарной поперечной силы у левой опоры можно воспользоваться выражением
где ?МЛ—сумма абсолютных значений моментов на опоре и в пролете; z — плечо внутренней пары сил. Аналогично, чтобы определить суммарную поперечную силу у правой опоры, имеем (см. рис. 50)
Плечо z меняется по длине элемента, но незначительно, поэтому для наших рассуждений можно принять, что сила QH.П пропорциональна величине z.
Предположим теперь, что при определенной нагрузке над левой опорой образовался совершенный пластический шарнир. При дальнейшем увеличении нагрузки постоянно будет |M1|=Mp1, однако моменты M2 и M3 должны возрастать, так как равновесие сил должно сохраняться. Будут возрастать в этом случае и значения ?МЛ, ?МП, а вместе с ними и суммарные силы QлH.П, QпH.П. Зависимость силы QлH.П или QпH.П от нагрузки будет монотонной, если не изменится характер распределения нагрузки по конструкции. Из сказанного следует, что при назначении поперечной арматуры по первому предельному состоянию нужно исходить из характера распределения поперечных сил, которые соответствуют распределению моментов при исчерпании несущей способности конструкции. Этот вывод справедлив и в том случае, когда пластические шарниры не являются совершенными или же когда в конструкции не возникает пластических зон. Короче говоря, этот вывод можно использовать для всех методов расчета, описанных в этой главе, а также в главе 5.
Пластические повороты. Из уравнения (38) следует, что угол поворота Θ (или ψ) можно установить, если для данного распределения усилий и моментов известно изменение пластической кривизны Хпл по длине пластической зоны, т. е. если в данной зоне для каждого ее сечения известен характер зависимости [М, х). В общем случае необходимо считаться с тем, что сечения пластической зоны неодинаковы, хотя бы из-за различного процента армирования и т. д. Для заданной формы эпюры моментов можно постепенно, точка за точкой построить полную зависимость [М, Θ], причем за М принимается здесь или максимальный момент в рассматриваемой пластической зоне или момент в ее центре тяжести и т. п. (сравнить с главой
1, п. 2).
Действительную зависимость [М, х] (рис. 51, а) очень трудно выразить аналитически. Если бы это было просто, то практической пользы мы бы не извлекли, так как сложность самой функции не позволила бы произвести какой бы то ни было разумный подсчет распределения усилий. Поэтому ищут подходящие приближенные формулы, упрощающие решение. Зависимость [М, х], например, заменяется гиперболической функцией, прямой и параболой (ом. рис. 51,б) и т. д. Практическое значение имеют лишь зависимости, составленные из отрезков прямых линий, скажем, из трех [трилинеарных (см. рис. 51,в)], предложенных Ф. Леви [102]. В общей форме решение дано у С. Рика Лопеса; вариант из двух отрезков прямых [билинеарных (см. рис. 51,г)] предложен Л. Джонсоном, X. Сойэр {94] и М. Тихим. Для билинеарной зависимости [М, х] с участком упрочнения (обозначения в соответствии с рис.
52, а) Л. Джонсон и X. Сойэр дают формулы для определения углов пластических поворотов при некоторых видах эпюр моментов.
Выведем вначале общую формулу для подсчета угла поворота θ. Из заменяющей рабочей диаграммы (рис. 52,а) следует, что для определения х при Мгр<М<Мр можем записать следующее выражение:
Угол поворота θ в углах рам определяется как сумма углов поворота прилегающих участков стойки и ригеля.
В некоторых методах расчета зависимость [М, v] используется непосредственно. К ним прежде всего относится билинеарная зависимость Бейкера (см. главу 4).
При решении некоторых задач, особенно связанных с исследованием статически неопределимых систем, выгодно работать с двумя билинеарными зависимостями [М, х] или же [М, х]. Одна из них действительна при работе конструкции в стадии, близкой к разрушению, а другая — на стадии возникновения трещин. Таким способом частично учитываются различия в деформативных свойствах системы, меняющиеся в ходе нагружения.
Н. А. Бородачевым и С. М. Крыловым предложена формула для определения угла пластического поворота
где Xi — момент в несовершенном пластическом шарнире; ki, МTi]—зависят от формы эпюры моментов и процента армирования. Эта формула была получена из решения балки, загруженной приведенной нагрузкой в виде сосредоточенных сил величиной ат/h0 каждая, где ат — ширина раскрытия трещин, a h0 — полезная высота сечения.
Подробности читатель найдет в указанной работе.
Исходные данные для расчета. В зависимости от того, какие цели мы преследуем при проектировании конструкции, в расчет вводится та или иная нагрузка. При проектировании используются расчетные нагрузки в соответствии со СНиП П-А.11-62*. При оценке работы реальной конструкции, анализе результатов испытаний и т. п. берутся реальные значения нагрузок, полученные в результате изучения на месте или измеренные в ходе эксперимента и т. д. При подсчете деформаций по общему методу обычно пользуются нормативной нагрузкой.
Жесткость Еб Iп устанавливается в соответствии с указаниями, приведенными в главе 4, п. 1. Предполагается, что в работе участвует полное приведенное сечение. Возникновение трещин или пластическая работа сжатого бетона учитывается в уравнении (39) углами поворота ψi, θi, определяемыми для областей, где |М|>Мгр в соответствии с требованиями главы 4, п. 1.
Момент на пределе упругой работы Мгр определяется для железобетонного сечения при известных моментах разования Мт и несущей способности Мр по эмпирической формуле
Момент образования трещин для простых изгибаемых элементов вычисляется по формулам (17) и (18). Более точно момент сопротивления пластически работающего сечения можно найти по формуле
в которой учитывается степень армирования сечения растянутой арматурой.
В формуле (50) bo, h, ho — размеры се чения в соответствии с рис. 11, а Fn, F'n—площади сечений свесов растянутой и сжатой полок.
Для внецентренно-сжатых элементов момент трещинообразовання МТ равен
Момент Мт.и определяется из уравнения (50), е — эксцентрицитет осевой силы. Ради упрощения значения W и F можно находить без учета арматуры.
Для сечений предварительно-напряженных конструкций принимается
При определении значения Мт исходят из предположения, что сечение работает упруго и напряжение в крайнем растянутом волокне равно 2R*p (R*p— прочность бетона на растяжение) .
Разрушающий момент Мр устанавливается из соотношений, используемых при расчете по предельному состоянию (по несущей способности). При анализе экспериментов можно применить и другие, более точные решения.
Кривизна хр при разрушении вычисляется из уравнения
(19).
Значение хр, т. е. высота сжатой зоны сечения при разрушении принимается такой же, как при определении Мр. При этом необходимо обратить внимание на форму эпюры напряжений в сжатом бетоне. Если форма используемой эпюры напряжений параболическая, параболически-прямоугольная [29, 73] или прямоугольная высотой 0,8 xр, то в этом случае в уравнение (19) можно непосредственно подставить значение xр, полученное при вычислении несущей способности. При прямоугольной форме эпюры напряжений высотой хр необходимо полученную величину хр увеличить на 25% (заметим, что в общем случае положение нейтральной оси определяется нулевой относительной деформацией).
Те или иные характеристики механических свойств материалов и геометрические размеры сечений подставляются в формулы для нахождения Еб, Iп, Мгр, Mт, Mр в зависимости от того, каковы цели расчета. При проектировании используются величины, заложенные в соответствующие нормы. При анализе экспериментов имеют дело с действительными значениями механических свойств, геометрических размеров и т. д., полученных на испытываемой конструкции. Если же эти величины нельзя определить непосредственно, то их можно вычислить, зная другие, с которыми они находятся в известной зависимости (например, модуль упругости бетона Еб можно найти, зная прочность бетона Rб*)- В том случае, когда требуется знать предельные относительные деформации бетона εб.р, точная величина которых неизвестна, рекомендуется принимать их порядка -0,0035.
Если в конструкции могут возникнуть нагрузки, вызывающие потерю устойчивости, то это необходимо учесть. До образования пластических шарниров жесткость ригеля рамной конструкции способствует уменьшению расчетной длины сжатой стойки. При этом предполагается возникновение дополнительных моментов в месте заделки ригеля в стойку. После появления пластических шарниров эта возможность отпадает и жесткость конструкции снижается. Если на устойчивость конструкции не влияет вся система, а лишь отдельный сжатый стержень, то наиболее удобно учесть снижение жесткости сжатого стержня, увеличив его расчетную длину. Это допустимо в том случае, если мы работаем (например, при оценке существующей конструкции) с центральными значениями нагрузок и механических свойств материалов.
При установлении доли долговременной и кратковременной составляющей нагружения сечения можно исходить из примерного предположения, что эта доля равняется доле долговременных и кратковременных вертикальных нагрузок, действующих на конструкцию.
Расчет железобетонных рамных конструкций в пластической стадии.
Перераспределение усилий.
М. Тихий, Й. Ракосник
перевод с чешского Б.М. Сергеенко
1976
|
