|
2. МЕТОД ВЫНУЖДЕННЫХ ПОВОРОТОВ (МЕТОД МАККИ)
Некоторые недостатки решения общей системы уравнений (39) устраняются методом, предложенным Макки [109, 110]. Он основан на принципе независимости действия сил (распределения моментов от внешней нагрузки и моментов, вызванных пластическими поворотами сечений). Оба эти распределения подсчитываются исходя из теории упругости.
Если применить метод сил, то распределение моментов от внешней нагрузки можно определить из системы уравнений (для i =1, 2, ..., п).
Аналогично найдем распределение моментов, возникшее в результате пластических поворотов сечений, решив последовательно систему уравнений
лишь для одного угла пластического поворота (или для двух углов пластического поворота, если случай симметричен), в то время как остальные приравниваются к нулю. Потребуется решить столько систем уравнений (54), сколько в конструкции пластических зон, а кроме того, также и систему уравнений (53). Следует помнить, что углы поворота ψi и θi являются пластическими и поэтому они не вызывают в основной статически определимой системе никаких изгибающих моментов.
Так как углы пластического поворота заранее неизвестны, то решается система уравнений (54) для единичных вынужденных углов поворота (отсюда и название метода). Для этого вначале в уравнения подставляется значение ψ1 = l, а остальные углы поворота принимаются равными нулю и т. д., затем ψ2' = 1 и т. д., потом θ1 = 1 и т. д. Таким образом, получается всего n'+n распределений моментов от единичных поворотов. Если бы были известны действительные значения углов пластического поворота, с их помощью можно было бы скорректировать моменты, и полученные таким способом распределения сложить с распределением, вытекающим из системы уравнений (53) по формуле
где Mуп — составляющая момента, подсчитанная из системы уравнений (53).
В действительности углы поворота ψi' и θi заранее неизвестны, поэтому при выполнении расчета приходится применять метод итерации, т. е. последовательного приближения. Для этого:
а) подсчитывается распределение моментов но теории упругости [например, решая систему уравнений (53)];
б) подсчитываются углы пластического поворота ψi' и θi для такого распределения;
в) определяется распределение моментов от единичных вынужденных углов поворота, решая систему уравнений (54);
г) устанавливается новое распределение с помощью уравнения (55);
д) уточняются значения ψi' и θi, а по ним и распределение моментов;
е) итерация прекращается, как только разница в моментах в двух следующих одно за другим распределениях не будет превышать допустимой ошибки статического расчета.
Характер зависимости [М, v] в пластической стадии (деформация растет быстрее, чем момент) ведет к тому, что сходимость наступает быстро и обычно 'бывает достаточно двух циклов итерации. Диапазон практического использования метода единичных углов поворота такой же, как и при прямом использовании общих уравнений совместности. Метод найдет применение прежде всего при решении ответственных конструкций с низкой степенью статической неопределимости, где часто можно вместо решения системы уравнений (53) применить заранее разработанные таблицы. Однако ничто не препятствует тому, чтобы с помощью этого метода проектировать и оценивать другие конструкции.
3. МЕТОД ПРЕДЕЛЬНЫХ УГЛОВ ПОВОРОТА (МЕТОД БЕЙКЕРА)
Принципы метода. Если исходить из определения несущей способности (22), приведенной в главе 3, п. 1, то потребуется уточнить, когда же сечение можно считать разрушенным. При анализе статически определимых систем бывает достаточно считать сечение разрушенным после того, как в нем будет достигнут разрушающий момент Мр. Такая формулировка будет неудовлетворительной при исследовании статически неопределимой системы с учетом ее упругопластического поведения. В данном случае необходимо принять определение, учитывающее происходящие деформации. Сечение считается разрушенным, если примыкающая к нему пластическая зона достигнет предельных деформаций, т. е. если взаимный пластический по ворот концевых сечений достигнет значения θР. Если заменить пластическую зону в месте критического сечения пластическим шариком, то θР будет относиться к взаимному повороту сечений, примыкающих к этому шарниру. Максимальный угол поворота в шарнире наступит тогда, когда нарушится максимальное число лишних связей в конструкции, т. е. когда она танет статически определимой. Лишние связи при этом будут нарушаться по мере возрастания нагрузки и в связи с последовательным возникновением пластических шарниров в критических сечениях. Поэтому определение (22) можно теперь сформулировать следующим образом:
конструкция исчерпает несущую способность, если в ходе загружения она станет статически определимой вследствие возникновения в ней пластических шарниров и если в каком-либо из этих шарниров будет достигнут угол пластического поворота при разрушении θР. (55а)
Разумеется, что для установления несущей способности такое определение позволяет использовать общую систему уравнений (39). За основную статически определимую систему принимается та, в которую конструкция будет трансформироваться по мере возникновения пластических шарниров. При решении общей системы уравнений возникнут трудности, которых можно избежать, приняв два допущения, предложенных А. Бейкером [44]: а) зависимость [М, v] без участка упрочнения является билинеарной (имеет вид в соответствии с рис. 56); б) отдельные стержни конструкции запроектированы так, что ’ «и в одном из сечений между шарнирами основной статически определимой системы не произойдет развития пластических зон.
Первое допущение означает, что после достижения определенного угла поворота изгибающий момент в критическом сечении уже не будет увеличиваться, а сохранит величины Мр. В то же время угол пластического поворота θ будет возрастать (начиная от нуля). Это справедливо для всех критических сечений i, в которых происходят пластические деформации. В шарнирах основной статически определимой системы в этом случае вместо неизвестных величин Xi будут действовать известные моменты Mpi. Поэтому в системе уравнений (39) для всех i можно принять
Второе допущение можно выразить для всех i' условием
Однако у железобетонных конструкций оно никогда не выполняется, так как перед достижением несущей способности в них всегда происходит накопление пластических деформаций бетона. В частично сжатых стержнях появляются трещины, и, следовательно, во всех критических сечениях развиваются пластические зоны. Оба эти обстоятельства можно учесть, вводя в расчет вмtсто жесткости Еб Iп, соответствующей полной и одновременно упругой работе, сечения, жесткость В, соответствующую тому состоянию сечения, в котором оно действительно находится. Тогда для коэффициентов δio, δii, δik будут справедливы следующие выражения:
Если теперь в систему уравнений (39) подставить значения Хi и ψi', то из уравнений (56) и (57) получим п уравнений такого вида:
в каждом из которых будет встречаться теперь лишь одно неизвестное, а именно угол упругого поворота θi. Значение θi зависит от геометрии исследуемой системы и несущей способности критических сечений, включая и сечение i, т. е. от величин постоянных.
Система уравнений для вычисления неизвестного момента Xi в этом случае заменяется на п самостоятельных уравнений для θi. Из определения (55а) вытекает условие надежности исследуемой конструкции: конструкция останется целой, если ни в одном из сечений угол пластического поворота θ не превысит предельного значения θР, т. е. если для каждого i будет выполняться условие
Одновременно должно быть
Если бы эти условия не выполнялись, то при подсчете коэффициентов влияния при единичном моменте в сечении i мог бы ошибочно получаться обратный знак или же было бы неправильно назначено положение пластического шарнира либо могло получаться, что при данной нагрузке шарнир еще не возникает.
Если на конструкцию действует несколько различных, независимых одна от другой нагрузок, то может оказаться, что расположение пластических шарниров для нагрузки каждого вида будет другим, поэтому потребуется исследовать условия (60) и (61) три каждом возможном случае их расположения. Иногда можна и отказаться от некоторых решений, если выбрать из всех вероятных случаев расположения шарниров такие, при которых условия деформаций будут наиболее неблагоприятные.
Поясним сказанное на примере неразрезной трехпролетной балки (рис. 54), загруженной временной равномерно распределенной нагрузкой рр. Теоретически нам бы следовало проверить условия (60) и (61) для всех четырех схем загружения и расположения пластических шарниров, однако известно, что пластические зоны в пролетах (в местах закругления эпюр моментов) имеют большую протяженность, чем зоны на опорах. Тогда и предельные углы пластического поворота θР будут больше. Кроме того, повороты шарниров θ в этих зонах относительно меньше, чем в шарнирах над опорами. Поэтому иногда достаточно исследовать лишь -случаи с пластическими шарнирами над опорами. При этом решающей будет нагрузка в соответствии с рис. 54,в, при которой угол поворота сечения над опорой θ достигнет максимальной величины. Подобными соображениями можно руководствоваться и в других случаях. Все зависит от типа и возможного вида размещения нагрузки, действующей на конструкцию. Например, сопряженную раму (рис. 55) можно оценивать в соответствии с приведенными схемами.
Метод применяется также при изучении устойчивости рамных систем с подвижными шарнирами (см главу 4, п. 3) и при проектировании решетчатых конструкций.
Зависимость [М, v]. Для определения угла пластического поворота θp необходимо более точно знать зависимости [М, v]. А. Бейкер уточнил ее диапазон с помощью двух пределов L1 и L2 (рис. 56). Эти пределы выведены не из действительной зависимости [М, v], а получены из рабочих диаграмм бетона и стали. В идеальной рабочей диаграмме бетона можно определить предел Lσ1 после которого рост относительной деформации εб происходит без прироста напряжения, и предел Lσ2, при котором наступает предельная относительная деформация εб.р. Для бетонного элемента без поперечного армирования (навивки или хомутов) А. Бейкер рекомендует принимать рабочую диаграмму в соответствии с Рекомендациями ЕКБ- ФИП (рис. 57,а).
При наличии навивки следует учитывать степень поперечного армирования [см. формулы (39) и (40)]. На рабочей диагграмме стали можно отыскать аналогичный предел Lа2, соответствующий достижению предела текучести (у стали с физическим пределом текучести) либо получению относительного остаточного удлинения 0,001 (у стали с условным пределом текучести). Предел Lа2 в соответствии с Рекомендациями ЕКБ- ФИП однозначно определяется достижением в стали предельной относительной деформации, равной 0,01 (см. рис. 57,6).
Пределы L1 и L2 в зависимости [М, v] соответствуют такому изгибающему моменту или углу поворота сечения, при которых в одном из материалов достигается соответствующий предел его рабочей диаграммы. Ясно, что предел L1 располагается всегда несколько ниже предела L2.
Заменяющая рабочая диаграмма и порядок ее построения показаны на рис. 56. Соответствующая ей жесткость будет меньше той, которая присуща упруго работающему сечению (или же сечению, в котором исключается работа бетона на растяжение). Здесь имеется в виду жесткость самого критического сечения и участков вблизи него.
Жесткость сечений, располагающихся на участке между пластическими шарнирами, будет большей. Она будет приближаться к жесткости при эксплуатационных нагрузках. Таким образам, жесткость, соответствующая заменяющей рабочей диаграмме, нигде не потребуется. Что касается пластической деформации θР при разрушении, определяемой по формуле
то для ее подсчета можно применить полуэмпирические формулы, о которых будет сказано позднее. Таким образом, для расчета нам потребуется знать только момент Ml2 (см. главу 4, п. 3).
Чтобы определить угол пластического поворота θР, в свое время был выведен ряд простых, частично эмпирических формул, основой которых является выражение
где С — постоянная, зависящая от различных факторов;
?xр — пластическая составляющая кривизны, определяемая из уравнения ?xр=xр— хгр; lпл—-длина пластической зоны.
В соответствии с формулами (1) и (9) можно записать:
Приближенно примем xгр=хр (это допущение в пользу надежности, так как получающееся θР будет меньше). Подставив в уравнение (61а) xгр вместо xр, получим
Значения εб.р и εб.гр заранее известны, хр получается при подсчете несущей способности сечения. Остается установить длину lпл и коэффициент С.
До сих пор понятию пластическая зона придавался 'более широкий смысл. Считалось, что это часть элемента, в которой образовались трещины. Для полностью сжатых сечений это была часть элемента, где |εб| > |εб.гр|. Если же учесть возникновение трещин уже при определении жесткости В, то при выполнении расчета придется иметь дело с концентрированными пластическими зонами в окрестностях критических сечений. На рис. 58 схематически показано изменение кривизны по длине простой балки, загруженной равномерно распределенной нагрузкой в стадии, близкой к разрушению. В этом случае под длиной пластической зоны lпл подразумевается отрезок элемента, на котором кривизна будет больше той, что соответствует жесткости, подсчитанной при исключении работы бетона на растяжение. Длина lпл зависит от способа загружения элемента, т. е. от формы эпюры моментов (сравнить с главой 2, п. 2), а в ряде случаев от осевой сжимающей силы, увеличивающей зону пластических деформаций. Далее lпл зависит от механических свойств элемента, которые при заданной нагрузке определяют размер неупругих деформаций.
Смысл коэффициента С также ясен — это коэффициент полноты эпюры пластических кривизн, зависящий от формы эпюры
моментов и характера зависимости [М, x]. Обычно коэффициент С включается в формулы уже при определении длины lпл.
Приведем ниже без подробного объяснения некоторые выражения, полученные из экспериментальных исследований для определения θР. Так, А. Бейкером и А. Амараконе предлагаются известные выражения, которыми, однако, не учитывается влияние поперечного армирования в виде навивки на бетон. Для частично сжатых сечений (т. е. у которых нейтральная ось проходит внутри сечения) имеем
где N — осевая сила, действующая в элементе (с отрицательным знаком); Nр.цс.ср — средняя несущая способность сечения при центральном сжатии (в абсолютной величине); t — удаление критического сечения от инфлекционной точки (точки нулевого момента).
Коэффициентом Са учитывают вид арматуры и принимают его равным 0,7 для горячекатаной стали и 0,9 для проволоки. Коэффициентом Сб учитывается влияние марки бетона; Сб = 0,8 для бетона со средней кубиковой прочностью Rкуб.ср≤200 кгс/см2 и Сб=0,6 при Rкуб.ср≥400 кгс/см2 (см. также табл. 3). Значения Сб для промежуточных величин Rкуб.ср берут по линейной интерполяции. На практике получающаяся длина lпл колеблется в пределах 0,4...2,4 h0. Формула (64) не учитывает формы эпюры моментов, что упрощает расчет, но может привести к неточностям.
Если же пластические зоны располагаются по обеим сторонам пластического шарнира (обратите внимание на шарнир 8 в рис. 48,6), то в этом случае нужно, пока не меняется значение хр, подсчитать для каждой зоны длины lпл1 и lпл2 по формуле (64), а при подсчете θР принятьlпл =lпл1 +lпл2. Gри различных значениях хр следует определить по формуле θp=θp1+θp2.
На практике нередки случаи, когда обе зоны, примыкающие к пластическому шарниру, имеют неодинаковые свойства (например, в углах рамы). В соответствии с принятыми здесь положениями при подсчете угла поворота θР следовало бы учитывать лишь те пластические зоны, в которых изгибающий момент достиг значения Мр. В действительности же пластические деформации возникают еще до наступления Мр.
Обозначим части пластических зон цифрами 1 и 2 таким образом, чтобы выполнялось неравенство Мр2>Мр1. В дальнейшем частичную пластификацию зоны 2 можно учесть, если уменьшить определенный для нее предельный угол пластического поворота θР2, умножив его на соотношение
В этом отношении МР1— разрушающий момент в критическом сечении зоны 1; MР2 — разрушающий момент в зоне 2; Мт2— момент образования трещин в зоне 2. Таким образом,
Чтобы определить момент трещинообразования Мт простых изгибаемых элементов, можно воспользоваться формулой (17). Для внецентренно-сжатых элементов Мт можно приближенно подсчитать по формуле
где N — нормальная сила, действующая в сечении; Fб — площадь сечения; Wб— момент сопротивления бетонной части сечения (арматура здесь не учитывается).
Расчет железобетонных рамных конструкций в пластической стадии.
Перераспределение усилий.
М. Тихий, Й. Ракосник
перевод с чешского Б.М. Сергеенко
1976
|
