4. РАСЧЕТ С УЧЕТОМ ДЕФОРМАТИВНЫХ СВОЙСТВ КОНСТРУКЦИЙ

В соответствии с изложенным в главе 2 длина пластических зон в узлах рамных конструкций измеряется от сечений, в которых определяется разрушающий момент (см. рис. 30), т. е от теоретических центров узлов либо от лицевых сторон стоек.

Из формулу (64) видно, что осевая сжимающая сила N благоприятно влияет на протяженность пластической зоны. В особенности это важно для полностью сжатых сечений, у которых, как это видно из формулы (63), угол поворота θ_Р при разрушении будет меньше, чем у изгибаемых элементов.

Выявление положительного влияния осевой сжимающей силы позволяет применить методы расчета с работающими пластическими шарнирами и для проектирования конструкций со сжатыми элементами. Такая возможность подтверждена экспериментально (см. работы А. Е. Кузьмичева, В. Б. Кранстона, В. Г. Васильева, С. П. Фесика). Имеются и другие предложения по определению предельных углов поворота, изложенных в работах [48, 58, 1, 75, 165, 126, 56].

Последовательность операций при проектировании. Метоп, предельных поворотов теоретически можно использовать при проектировании. Тогда выбор параметров конструкции складывается из двух фаз: предварительного назначения этих параметров и оценки правильности предварительного решения. Рассмотрим вначале принципы, на которых основывается проектирование в первой фазе.

Помимо геометрической формы исследуемой системы обычно задаются, хотя бы приблизительно, формой сечений и их размерами, исходя из практических соображений или

эстетических требований, предъявляемых к конструкции. Остается установить количество необходимой арматуры. Для этого строят эпюры моментов от расчетной нагрузки на каждый элемент конструкции. Эти эпюры располагаются примерно в соответствии со следующими правилами:

1) во внутренних пролетах неразрезных балок и рам эпюру моментов от вертикальной нагрузки (например, равномерно распределенной) располагаем так, чтобы моменты на опорах и в пролете были одинаковыми (рис. 59,а). Если окажется, что пролеты неодинаковой длины, то будем стремиться выровнять разрушающие моменты и в первую очередь в больших пролетах;

2) в крайних пролетах неразрезных балок эпюру моментов согласуем с первым внутренним пролетом, если он той же или несколько большей длины, чем крайний пролет. В противном случае разместим эпюры так, чтобы моменты оказались примерно равными;

3) В крайних пролетах рамы эпюру моментов от вертикальной нагрузки разместим так, чтобы в крайних узлах моменты в сечениях стоек были равны (рис. 59,б):

для нижней колонны

для верхней колонны

В заделке ригеля искомый момент будет равен:

4) момент от воздействия горизонтальной нагрузки разделим между стойками исследуемого этажа рамной конструкции пропорционально их жесткостям или же (при двустороннем защемлении стоек) разместим эпюру моментов так, чтобы нулевые моменты приходились на середину высоты этажа (рис. 59,в). Одновременно в отдельных пролетах ригеля нулевые моменты окажутся посредине их длины;

5) разрушающие моменты, требующиеся для погашения отрицательных моментов на незагруженных пролетах, установим, разместив эпюры изгибающих моментов от постоянной нагрузки так, чтобы использовать разрушающие моменты на опорах, назначенные в соответствии с пп. 1—3. По конструктивным соображениям это не всегда возможно. В этом случае необходимо увеличить межопорные разрушающие моменты в полностью загруженных пролетах.

Окончательное распределение разрушающих моментов при одновременном действии нескольких нагрузок получим, сложив эпюры моментов. При предварительном назначении параметров конструкции можно также исходить из распределения усилий, определенного в соответствии с принципами, изложенными в главе 5. Оценивая результаты предварительного проектирования, рекомендуется поступать следующим образом:

а) определить степень статической неопределимости n всей конструкции или же только исследуемой части. За исследуемую часть можно, например, считать пролет неразрезной балки или рамы, этаж рамы, состоящий из ригеля и подпирающих его стоек, и т. д. При рассмотрении рамных конструкций следует идти от верхнего этажа вниз;

6) назначить положение n пластических шарниров. Последние будут одновременно и шарнирами основной статически определимой системы. При назначении положения шарниров необходимо руководствоваться опытом расчета по теории упругости. Предположим, что шарниры возникнут в сечениях, где в соответствии с теорией упругости получаются наибольшие (по абсолютной величине) моменты. В большинстве случаев выгодно предположить возникновение пластических шарниров в сечениях, примыкающих к узлам. На рис. 60 жирными точками обозначены положения пластических шарниров на типовой рамной конструкции. Здесь можно воспользоваться методом предельного равновесия (см. главу 5);

в) построить эпюры моментов на основной статически определимой системе вначале от внешней нагрузки, затем от единичных моментов Xi= 1 и Xk= 1, действующих в шарнирах. Знак единичных моментов выбирают так, чтобы в сечениях, примыкающих к шарнирам, они вызывали усилия того же знака, что и моменты при окончательном распределении. И здесь следует опять же руководствоваться опытом применения теории упругости. Если же исследуется этаж рамной конструкции (см, рис. 60), то необходимо, чтобы на него продолжали действовать не только внешняя нагрузка, но и изгибающие моменты M=M_p и осевые силы N, приложенные в пластических шарнирах над исследуемым этажом, а также результирующие горизонтальных усилий;

г) вычислить значения δ_io, δ_ii, δ_ik;

д) определить «значения M_pi и θ_pi для всех г сечений;

е) из уравнения (59) найти углы пластических поворотов θ_i;

ж) проверить, выполняются ли условия (60) и (61) и во всех ли шарнирах. Если да, то конструкция удовлетворяет предъявляемым требованиям. Одновременно во всех сечениях между шарнирами должно выполняться основное предположение (б) из главы 4, п. 3.

Если условие (60) не выполняется, то можно поступить тремя способами:

1) увеличить предельные углы пластических поворотов θ_Р в тех сечениях, которые не прошли. Это можно сделать, повысив поперечное армирование сжатой зоны.

Действовать подобным образом рекомендуется лишь в особых случаях. Увеличение количества поперечной арматуры ведет к трудностям при бетонировании, что уменьшает выгоды от использования перераспределения усилий;

2) коэффициент δ_ii в уравнении (59)—положительный, момент M_pi также положительный. Если увеличить M_pi, то тем самым уменьшится θ_i. В дальнейшем значение M_pi будет использовано в некоторых других уравнениях, в частности для определения пластического угла поворота. Так как при этом коэффициент δ_ik часто бывает отрицательным, может получиться, что увеличение M_pi одновременно вызовет рост поворота в других шарнирах. Однако коэффициенты δ_ik по абсолютной величине обычно бывают меньше коэффициентов δ_ii. Приближенно приращение момента ?М_рi можно подсчитать по формуле

3) третий способ, обратный второму; уменьшить моменты М_рk, встречающиеся в данном уравнении. В связи с упомянутой зависимостью между коэффициентами δ_ii и δ_ik такой способ не оправдывает себя.

Если условие (61) не выполняется, то можно или изменить положение пластического шарнира, или увеличить угол поворота θ_i вплоть до положительного значения способом, противоположным тому, который описан в пп. 2 и 3, т. е. уменьшить, например, момент М_рi. Иногда можно повлиять на θ_i, изменив знак какого-либо из остальных моментов М_р. Если же при этом рассматриваемый момент М_р отрицательный, то и угол поворота θ в соответствующем шарнире должен тоже иметь отрицательный знак. В этом случае требуется выполнить условие |θ|≤|θ_p|, аналогичное условию (60).

Вблизи узлов рамных конструкций длина пластической зоны измеряется от сечения, для которого определяется М_р (см рис. 31), т. е. или от теоретического центра узла, или же от лицевой поверхности стойки. Это зависит от общего напряженного состояния узла, т. е. от того, участвует ли его ядро в пластических деформациях или нет. Макки указывает, что нормальная сила в стойках влияет на степень участия ядра в работе.

Рассмотрим, каким образом обеспечивается выполнение основного предположения (б) из главы 4, п. 3. По методу Бейкера это положение будет выполнено, если изгибающий момент ни в одном из сечений между пластическими шарнирами не превысит значения M_L1, соответствующего пределу L₁, на заменяющей рабочей диаграмме [М, v] рис. 56. Для этого требуется найти значения моментов M_L1 для промежуточных сечений, которые определяются несколько иначе, чем разрушающие моменты M_P=M_L2. Тем самым усложнилось бы практическое решение. Поэтому для железобетонных конструкций можно принять M_L1=M_L2=M_p, если одновременно будут выполнены правила о максимальной и минимальной степенях армирования приведенные в главе 5, п. 2 [правило (1) и (2) стр. 142]. Для предварительно-напряженных железобетонных конструкций можно с некоторым приближением принимать M_L1 = 0,95 М_р= M_L2, если M_L1 нельзя установить точно.

При оценке конструкции, на которую действует заданная нагрузка, поступаем так, как уже описывалось ранее. Если же требуется найти несущую способность U при заданном типе нагрузки, то с помощью известных величин Мр, θ_Р, δ_ii, δ_ik по формуле (59) можно найти для каждого i значение δ_io, а через нее — значение U_i. В общем случае значения U_i неодинаковы; решающей будет наименьшая из определенных несущих способностей, т. е. U = мин U_i. Этот способ оценки применяют в случае, когда необходимо установить возможности конструкций, например, при реконструкции и т. п.

При назначении или оценке поперечного армирования следует руководствоваться выводами, изложенными в главе 4, п. 1, т. е. исходить из распределения усилий, полученного при расчете на прочность.

Исходные данные расчета. Расчет конструкций. В соответствии со СНиП II-B.I (проект 1972 г.) проектирование конструкций ведут с помощью расчетных исходных значений.

Расчетные нагрузки принимают по СНиП II-A.11-62. Жесткость В можно определить различными методами. Причем результаты получаются не слишком отличающимися, если придерживаться основного предположения об исключении работы бетона на растяжение. С точки зрения расчета распределения усилий абсолютная точность не важна, так как имеют значение прежде всего взаимные соотношения жесткостей. Поэтому будет достаточно, если жесткость В определить, предположив существование прямоугольной эпюры напряжений в сжатой зоне (глава 2, п. 1, рис. 10). Необходимо обратить внимание на то, что при больших нагрузках пластическая работа бетона интенсивнее и, следовательно, модуль деформации бетона vE_б окажется ниже, чем для нагрузок, при которых обычно оцениваются деформации. В расчете по методу Бейкера рекомендуется значение v принимать по табл. 3. При кратковременных эксплуатационных нагрузках v=¹/₂, а при длительном действии нагрузки можно принять

где φ — коэффициент, характеризующий ползучесть бетона (при обычном расчете v задается в зависимости от гигрометрических условий эксплуатации конструкций).

При исчерпании несущей способности модуль деформации бетона обычно бывает меньше, чем при эксплуатационных нагрузках. В данном случае длительность загружения учитывать не следует, так как перегрузку конструкции всегда можно рассматривать как кратковременное явление (критические перегрузки возникают от действия временной нагрузки). Кроме того, при исчерпании несущей способности принимается ψ_а=1 и ψ_б = 0,9. Подробный анализ изменения значений коэффициентов v, ψ_аи ψ_б, а также и модуля упругости арматуры Е_а для стадии, близкой к разрушению, был выполнен в 1968 г. О. А. Коковиным. Необходимо только помнить, что участки конструкции, располагающиеся между шарнирами, в большинстве случаев не столь сильно загружены, поэтому при расчете не используются экстремальные значения приведенных коэффициентов. Предполагается, что растянутый бетон между трещинами уже выключен из работы и по длине элемента наступает выравнивание деформаций бетона сжатой зоны.

Для частично сжатых сечений (нейтральная ось располагается внутри сечения) жесткость можно подсчитать по общей формуле

где М — изгибающий момент по отношению к центру тяжести сечений; x — кривизна линии изгиба, подсчитанная по формуле (13).

При решении по формуле (71) предварительно требуется установить напряженное состояние сечения. Поэтому удобнее воспользоваться выражением (14). Последнее справедливо лишь для сечений, на которые действует изгибающий момент. Однако для случая, когда осевая сила является сжимающей, получаемое значение В будет с запасом. Чем меньшее значение В вводится в расчет, тем большим получится угол пластического поворота θ_i.

В выражениях (13) и (14) фигурирует плечо внутренней пары сил z. Чтобы установить его величину, необходимо найти высоту сжатой зоны x=ξh₀. Формулу для определения относительной высоты сжатой зоны ξ легко вывести, если исходить из основных предпосылок расчета, приведенных на стр. 20. Если в изгибаемом элементе нейтральная ось проходит через ребро сечения, т. е. если x>h'_п, то ξ>h'_п/h₀. Тогда для подсчета ξ можно использовать квадратное уравнение

было бы правильнее принять значение осевой силы от нормативной нагрузки, так как перегрузка не может наступить одновременно на всех этажах рамы. Это усложнило бы расчет, по- поэтому выбирают более простой способ.

Среднюю несущую способность сечения при центральном сжатии N_р.цс.ср, фигурирующую в уравнении (64), подсчитывают от нормативных нагрузок. Константу С_a, имеющуюся в формуле (64), для горячекатаной арматуры принимаем равной 0,7, а для холоднотянутой проволоки—0,9. Постоянную С_б берем в соответствии с данными табл. 3 стр. 97 в зависимости от прочности бетона. Расстояние t от точки нулевого момента до сечения, в котором определяется θ_Р, задается.

Оценка конструкции. При оценке существующей конструкции в расчет вводят исходные данные с учетом характера исследуемого сечения. Рекомендуется по возможности использовать действительные характеристики, полученные при исследовании конструкции.

Устойчивость рам. В главе 2, п. 2 говорилось о том, что потеря устойчивости рамной конструкции может наступить по двум причинам: в результате изолированной потери устойчивости одного из сжатых стержней и из-за потери устойчивости всей конструкции в целом или же ее части (рис. 35). Можно предположить, что между двумя способами потери устойчивости нет взаимодействия, т. е. допустимо потерю устойчивости конструкции для каждого ее вида оценивать самостоятельно.

Изолированная потеря устойчивости. Рассмотрим номинально центрально-сжатый стержень с двусторонним защемлением концов (рис. 62,а). Строго говоря, центрально-сжатых стержней в природе не существует. Ось стержня по разным причинам отклоняется от теоретического положения, поэтому в стержне возникают изгибающие моменты. В данном примере критическими будут оба сечения в заделке, а также сечение на половине высоты элемента. При определенной осевой силе в критических сечениях (в заделке или на половине высоты элемента) возникнут пластические шарниры (см. рис. 62, б, в) ,в которых будут действовать изгибающие моменты M_р. Для упрощения расчета и с точки зрения надежности правильнее предположить, что шарниры не пластические, а натуральные. При этом расчетная длина равняется высоте этажа независимо от того, какой из случаев, приведенных на рис. 62, а или 62,б, рассматривается. При таком предположении получается более безопасное решение и им обычно пользуются при расчете конструкции по теории упругости.

Рассмотрим зависимость между усилиями и деформациями при изолированной потере устойчивости. С учетом имеющегося начального эксцентрицитета е₀ критические сечения сжатых элементов всегда следует рассматривать как внецентренно-сжатые. Кривая зависимости [M_p,N_p] для несущей способности

внецентренно-сжатого сечения имеет вид в соответствии с рис. 63,а. Загружение сечения в начальной стадии задано моментом М и нормальной силой N, между которыми существует зависимость

где е — эксцентрицитет, полученный без учета устойчивости.

Если бы соотношение M/N при возрастании нагрузки не менялось, то такое нагружение можно было бы отразить на рис. 63, а прямой О. Однако с ростом нагрузки сжатый стержень прогибается и эксцентрицитет в половине высоты элемента получает приращение на значение прогиба f (см. рис. 62, в). Поэтому в сечении на половине высоты стержня M/N=e₀ +e+f.

Далее возможны два основных случая:

1) с увеличением прогиба f нормальная сила будет расти вплоть до разрушения сечения [т. е. когда линия 1 пересечется с кривой зависимости (см. рис. 63, а)]. Этот случай называют разрушением по материалу;

2) при определенном прогибе f_кр нормальная сила начнет уменьшаться (кривая 2 на рис. 63, а); сечение, однако, разрушится только после достижения прогибом значения f_p. В это время стержень будет в состоянии нести лишь часть приходящейся на него нагрузки. Остальная часть нагрузки должна будет распределиться на другие сжатые стержни (если это вообще возможно). В этом случае говорят о так Называемом стабилизационном разрушении.

Общая потеря устойчивости. Чтобы выявить отдельные зависимости, рассмотрим простой случай симметричной рамы, опирающейся на шарниры (рис. 64, а). Пусть над левой стойкой рамы действует вертикальная сила Р, а в уровне ригеля— горизонтальная сила Н. Вначале загрузим раму лишь горизонтальной силой Н, от воздействия которой ригель сдвинется горизонтально на длину f_H. Если теперь начнем увеличивать от нуля силу Р, то стойки рамы под влиянием изгибающего момента Pf/2 будут деформироваться и сдвиг f_H вырастет до значения f=f_H+f _р.

Сдвиг ригеля на значение f можно получить, если приложить к нему горизонтальную силу Н'>Н. Составляющая f_p возникает от действия силы Р. Если пренебречь искривлением стоек, то из уравнений равновесия (учитывая симметричность рамы) получаем составляющие реакции А и В:

горизонтальные

и вертикальные:

Если Нр=0, θ_Р2>0 и М_p2>0, то уравнение (90) можно переписать в следующем виде:

Встречающееся здесь соотношение М_p2/θ_Р2 указывает на то, что их значения оказывают противоположное влияние на величину Р_р.

Полученные результаты (которые справедливы лишь для рам без горизонтальной нагрузки) на первый взгляд кажутся парадоксальными, так как из них следует, что с ростом θ_Р2 уменьшается Р_р. Однако все находится в полном соответствии с характером устойчивости конструкции. Если, например, θ_Р2=О, то это означает, что возникновение пластического шарнира невозможно и, следовательно, вплоть до своего разрушения рама будет работать упруго. Наоборот, при воздействии только силы Р, когда М_р=0, не имеет значения, каков пластический поворот θ_Р2. Важно то, что в углу рамы имеется пластический шарнир.

При действии на раму горизонтальной силы Н=Н_Р при θ_Р2>0 способность рамы к деформации увеличивается, а вместе с нею возрастает и несущая способность. В любом случае должно быть справедливымнеравенство

На графиках зависимостей [Р/Р_кр.уп, f/п] показанных на рис. 65, нанесены точки, соответствующие предельным поворотам θ_Р=10^-3, 5 10^-3 и 10^-2. Проанализируем соотношения между усилиями и деформациями в исследуемой раме (при: Н/Р_кр.уп=0,01). В соответствии с рис. 65 возможны два случая:

1) в сечении 2 при нагрузке Р<Р_кр.пл наступает исчерпание несущей способности при моменте М_р2. В этом случае деформации вначале идут по линии, соответствующей упругой работе рамы, а от точки А, т. е. когда М₂=М_р2, по линии, соответствующей работе рамы с пластическим шарниром. По мере возрастания нагрузки Р при значении Р=Р_р наступает предельный пластический поворот θ_Р2 и рама разрушается (подобие разрушения по материалу при изолированной потере устойчивости). Если бы 0_р2→∞, то Р_р = Р_кр.пл и рама разрушилась бы из-зa чрезмерных деформаций;

2) в сечении 2 возникает разрушающий момент М_р2, лишь при нагрузке Р>Р_кр.пл. При этом произойдет мгновенная потеря устойчивости, так как с возникновением пластического шарнира конструкция изменилась и перешла в новое состояние. В этом случае можно говорить о подобии стабилизационного разрушения.

В дальнейшем важно уяснить, какую роль играет увеличение разрушающего момента М_р2. При M_р2/H_ph=0,5 сразу же после приложения силы H=H_р в конструкции возникнет пластический шарнир. Если теперь увеличить М_р2 на 40%, то пластический шарнир возникнет при соотношении усилий Р/Р_кр.уп=

=0,29. При этом сила Р_р будет возрастать в зависимости от значения θ_р2 в соответствии с данными табл. 4.

Таким образом, увеличение разрушающего момента окажется полезным лишь тогда, когда значение θ_р2 в критическом сечении будет низким.

Однако с увеличением разрушающего момента рама как бы охрупчивается, так как небольшое приращение силы Р повлечет за собой увеличение деформаций.

И наконец, отметим здесь важное отличие от случая изолированной потери устойчивости. Обычно в конструкции рам сила Р уменьшиться не может, в то время как в случае изолированной потери устойчивости такое уменьшение возможно, если при этом прилегающие части конструкции в состоянии сохранить равновесие сил.

Из анализа поведения простой рамы следует важный вывод: возможность возникновения пластических шарниров снижает предел устойчивости рамы. Его можно распространить и на более сложные виды конструкций и нагрузок. Поэтому при рассмотрении конструкций, у которых возможна полная потеря устойчивости, требуется выяснить, не наступит ли в результате корректировки перераспределения усилий большого снижения предела устойчивости. Пока же еще не представляется возможным дать общее правило, в каких случаях следует проводить оценку устойчивости заданной системы. При решении вопроса о том, следует ли при расчете по теории пластичности обращаться к более точному решению, рекомендуем руководствоваться соображениями, изложенными в главе 2, п. 2.

Способ решения, показанный на примере простой рамы (рис. 61), можно с некоторым приближением использовать и при изучении работы многоэтажных рам. Каждый этаж такой рамы можно рассматривать самостоятельно как защемленный в нижнюю часть конструкции. При этом влияние вышележащих этажей заменяется осевыми силами и изгибающими моментами, приложенными к верхним узлам.

Расчет железобетонных рамных конструкций в пластической стадии.
Перераспределение усилий.
М. Тихий, Й. Ракосник
перевод с чешского Б.М. Сергеенко
1976