2. ФАКТОРЫ, ВЛИЯЮЩИЕ НА ПЕРЕРАСПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИИ

1. РАБОЧАЯ ДИАГРАММА СЕЧЕНИЯ

Кривизна линии изгиба. В главе 1, п. 2 было показано, что перераспределение усилий зависит от деформативных свойств критических сечений и прилегающих участков. При этом деформативные свойства сечения определяются его рабочей диаграммой, за которую обычно принимается зависимость между изгибающим моментом М и кривизной линии изгиба x (см. рис. 2). В общем же случае зависимость [М, x] имеет еще и так называемую нисходящую ветвь (рис. 8). После достижения максимального изгибающего момента M_p разрушения сечения еще не происходит; оно еще в состоянии и дальше деформироваться одновременно со снижением изгибающего момента. Сечение разрушится только с достижением предельной кривизны x_р. Нисходящую ветвь рабочей диаграммы можно использовать лишь там, где это позволяет сделать либо характер загружения, либо конструкция элемента, т. е. если используется способность элемента к деформированию. В практических расчетах учет нисходящей ветви рабочей диаграммы наталкивается на затруднения, которые усложняют решение. А так как помимо всего прочего влияние нисходящей ветви рабочей диаграммы на несущую способность конструкции положительно, то возвращаться к таким рабочим диаграммам не будем, а условимся, что зависимость [М, x] и другие зависимости, вытекающие из нее, всегда будут иметь вид, изображенный на рис. 2.

Прежде всего следует пояснить, от чего зависит кривизна линии изгиба x. Рассмотрим участок обычного или предварительно-напряженного железобетонного стержня, нагруженного постоянным изгибающим моментом М и осевой силой N (рис. 9). Пусть нейтральная ось проходит на расстоянии х от крайнего сжатого волокна. В ее уровне напряжения и деформации сечения будут нулевые, поэтому исследуемый отрезок стержня будет иметь в этом месте ту же длину, что и перед началом загружения. Крайние сжатые волокна бетона, в отличие от этого, сократятся на длину а'а", а растянутая арматура на уровне своего центра тяжести удлинится на отрезок с'с". Длина волокна bb' останется без изменения. Относительные деформации бетона и арматуры будут следующие:

Из геометрических соотношений вытекает, что

где р — радиус кривизны линии изгиба.

Подставив в уравнения значение х=1/р, после ряда преобразований получим выражение для кривизны линии изгиба:

или после исключения х:

Относительную деформацию бетона от сжатия ε_б подставляем в уравнение (1а) со знаком минус. Если рассматриваемый участок элемента работает в упругой области, т. е. если бетонная часть сечения работает полностью, включая растянутую зону, то относительную деформацию крайнего сжатого волокна можно представить так:

где F_II и I_II — соответственно площадь и момент инерции приведенного сечения; Еб — модуль упругости бетона; x_о — удаление центра тяжести приведенного сечения от крайнего сжатого волокна.

После подстановки значения ε_б в уравнение (1а) получим:

при этом удаление нейтральной оси от сжатого края сечения равно:

Аналогичное выражение можем получить из уравнения (2).

После возникновения трещины установление кривизны линии изгиба формально становится более сложным делом, так как необходимо знать деформацию сечения при исключенном растяжении бетона. С возникновением трещины бетонная часть сечения под нейтральной осью в месте прохождения трещины уже не работает. На участке между трещинами, вследствие имеющегося сцепления арматуры с бетоном, часть растягивающих напряжений перейдет на бетон. В этом случае деформации сжатого бетона и растянутой арматуры не будут одинаковыми по длине элемента. Они достигнут максимума в месте возникновения трещины, а в промежутке между ними будут минимальными. Поэтому для дальнейших рассуждений установим понятие средних относительных деформаций растянутой арматуры

и средних относительных деформаций крайнего сжатого волокна бетонной части сечения

Относительные деформации ε_a и ε_б относятся к сечению с трещиной, коэффициенты ψ_a≤1, ψ_б≤1 учитывают неравномерность продольных деформаций на участке между трещинами.

Для определения значений ε_a и ε_б примем некоторые допущения (рис. 10):

а) при деформациях сечение остается плоским;

б) напряжение в сжатых волокнах бетона σ_б постоянно и задано выражением

в) напряжение в сжатой арматуре г) в площадь сжатой арматуры включается только та ее часть, которая расположена не далее чем на х/2 от сжатого края сечения.

В этих допущениях ε_б — деформация крайнего сжатого волокна в месте образования трещины; vE_б — модуль упругости бетона; E_а— модуль упругости стали; х — расстояние от нейтральной оси до сжатого края сечения, которая устанавливается исходя из вышеизложенных допущений. В действительности допущение «а» не выполняется, так как в месте возникновения трещины сечение не может оставаться плоским. Тем не менее в дальнейшем будем его придерживаться, поскольку это намного упрощает изложение. Без такого допущения требовалось бы определять положение нейтральной оси по особым формулам. Более подробно этими вопросами занимался Я. М. Немировский. Допущение «б» также не выполняется при эксплуатационных нагрузках, что учитывается коэффициентом v. В изгибаемых элементах со сжатой зоной прямоугольной формы v = ¹/2; эту величину можно приблизительно принять и для иных форм сечений. Коэффициентом v можно учесть и возможную ползучесть бетона при воздействии долговременной нагрузки.

Следует заметить, что по экспериментальным наблюдениям при длительном нагружении высота сжатой зоны почти не меняет своего значения и остается практически такой же, как при кратковременном нагружении. В этом случае при вычислении длительных деформаций можно воспользоваться значением высоты сжатой зоны, полученным для определения кратковременных деформаций. Так как известно, что

то задача сводится к нахождению eta и Стб.

Напряженное состояние сечения можно описать нормальной силой N, приложенной в центре тяжести растянутой арматуры и моментом внешних сил М₃ также относительно центра тяжести растянутой арматуры. Тогда

где z — плечо внутренней пары сил (см. рис. 10);

Реп— приведенная площадь сжатой зоны сечения, определяемая по формуле

Если выражения (8) и (9) подставить в (5) и (6), то получим, что

По аналогии с формулой (3) кривизну линии изгиба можно выразить через средние относительные деформации:

Подставляя (10) и (11) в (12), после преобразования получим

Следует отметить, что в этой формуле N будет со знаком минус, если она вызывает сжатие.

Если же в уравнении (13) N=0, то M₃=M. Тогда, используя соотношение (1), получим выражение для определения жесткости при изгибе

Приняв ψ_а=1 и ψ_б = 1, можем выражение (14) перевести в известную формулу

Отметим, что в формулах (14) и (15) отсутствуют параметры, характеризующие прямоугольную форму эпюры напряжения в бетоне. Она имеет значение лишь при определении величин х и z. Таким образом, обе формулы для вычисления жесткости справедливы во всем интервале, когда бетон не работает на растяжение. Это важно знать, учитывая возможности их использования при высоких уровнях напряжений. Надо заметить, что член Е_б, который находится в формуле (14) путем преобразования, сохраняется в величине х (15).

В случае простого изгиба (т. е. когда M₃=М) при определении ψ_а можно воспользоваться полуэмпирическим уравнением, предложенным в работе

Коэффициент λ учитывает длительность действия нагрузки (при кратковременном загружении λ= 1,1, при долговременном λ=0,8); М_б.т — момент образования трещин в неармированном сечении.

Для сечений, подвергнутых простому изгибу:

где R*_p —прочность бетона при центральном растяжении;

W_б.т — момент сопротивления сечения без учета арматуры при условии пластической работы растянутого бетона.

Для прямоугольных сечений, а также тавровых и двутавровых (рис. 11) можно считать, что

где b и h — размеры, принятые в соответствии с рис. 11; F_cв и F'_cв —площади свесов растянутой и сжатой полок.

Если М_б.т>1, то это соотношение принимается равным единице. Максимально возможное значение для ψ_а— также единица (ψ_а>1 не имеет физического смысла).

Коэффициент ψ_б зависит от распределения трещин. По данным экспериментальных исследований его значение составляет примерно 0,9. При использовании некоторых методов расчета, а также в теоретических работах употребляется понятие кривизны при разрушении x_р. Ее можно вычислить по формуле (1а), если принять, что ε_б=ε_бр и х=х_р. Тогда

Величина ε_бр обычно известна заранее. Высота сжатой зоны х_р определяется при расчете несущей способности сечения.

Иногда за рабочую диаграмму сечения принимается зависимость между изгибающим моментом и взаимным поворотом концевых сечений пластической зоны или же сечений, примыкающих к пластическому шарниру (см. главу 1, п. 2 и рис. 2,в).

Рабочая диаграмма в целом влияет на меру перераспределения усилий, т. е. на отношение действительной несущей способности U к несущей способности U_макс[V], подсчитанной из предположения, что произошло полное перераспределение усилий. Мера перераспределения усилий будет меняться также в зависимости от того, что принять за действительную несущую способность конструкции. Если, например, за несущую способность U принять разрушение одного сечения, то отношение U : U_макс будет тем больше, чем большие пластические деформации произойдут вблизи отдельных критических сечений.

Для оценки деформативных свойств сечения удобно применить рабочую диаграмму сечения, приведенную к предельным значениям, т. е. зависимость [(M/M_p, (х/х_р)] (рис. 12). При идеально упругой работе сечения приведенная диаграмма будет иметь вид прямой, проходящей через начало координат. Из теории пластичности следует, что мера перераспределения усилий зависит от площади R (заштрихованная часть на рис. 12). Чем больше эта площадь, тем большей будет мера перераспределения усилий. Очевидно, что площадь R увеличивается по мере приближения отношения М_т/М_р к единице и соотношения х_т/х_р — к нулю. Так как х_т всегда больше нуля, то последнее условие выполняется, если х_р-»∞. Чтобы перераспределение усилий было полным, достаточно, если х_р окажется столь велико, что сечение сможет перенести все деформации, которые необходимы данной статической схеме и нагрузке для достижения разрушающих моментов во всех критических сечениях.

В некоторых случаях меру перераспределения усилий можно оценивать с помощью так называемого коэффициента деформативности, который обычно характеризуется отношением

или же

Чем больше значения с_х, c_v, тем выше мера перераспределения усилий. Подробным изучением влияния различных значений последних на коэффициент деформативности занимались М. 3. Кон и С. К. Гош.

Для иллюстрации приведем один из результатов, полученных Ферри Боржешем с соавторами. Ими исследовались теоретические модели защемленных с двух сторон балок постоянного сечения, симметричного к двум взаимно перпендикулярным осям, применительно к различным приведенным рабочим диаграммам, состоящим из двух прямых отрезков (так называемая билинеарная рабочая диаграмма). Процесс перераспределения усилий для двух рабочих диаграмм сечения, изображенных на рис. 13,б, приведен на рис. 13,в.

В первом случае приведенная рабочая диаграмма приближается к линейной и будет справедлива, если предположить упругое поведение конструкции. Во втором случае, наоборот, она приближается к диаграмме, соответствующей полной пластичности. Разница в изменении моментов очень заметна. В то время как в первом случае практически не произошло никакого перераспределения усилий, во втором случае моменты в критических сечениях почти сравнялись. В первом случае действительная разрушающая нагрузка q_p оказалась на 6% больше, чем подсчитанная по теории упругости q_р.уп. Во втором случае она больше на 28%. В табл. 1 приведены отношения, полученные для конструкций различных типов с различными рабочими диаграммами.

На определенном уровне загружения конструкции важно обратить внимание, как изменяется кривизна вдоль оси элемента. До тех пор, пока в элементе не возникли трещины и зависимость между моментом и кривизной линейная, изменение кривизны происходит по формуле (4). Для простой балки постоянного сечения эпюра кривизны будет колинеарной по отношению к эпюре моментов. Однако как только появятся трещины, деформации бетона и арматуры будут концентрироваться вблизи них. В этих местах кривизна вырастает иногда даже в несколько раз по сравнению со средней, что наглядно продемонстрировано на примере балки (рис. 14), загруженной двумя сосредоточенными грузами. Если бы трещины в балке отсутствовали, то кривизна на отрезке между силами осталась бы постоянной. В

действительности же она значительно меняется. Концентрация кривизны бывает тем выше, чем больше расстояние между трещинами. При деформации внутренние силы в элементе должны проделать определенную работу, чему препятствует жесткость элемента между трещинами. Поэтому деформации концентрируются в местах пониженной жесткости. В момент разрушения кривизна очень заметно возрастает в месте разрушения. Последнее имеет определенные границы, которые не зависят от длины напряженной области, а только от типа усилия.

Можно сказать, что концентрация кривизны в месте образования трещины улучшает перераспределение усилий, при этом поведение конструкции более соответствует предположениям, используемым в методе предельного равновесия, изложенным в главе 5, п. 1. Из-за концентрации кривизны может случиться так, что фактическая мера перераспределения усилий окажется больше подсчитанной теоретически, поскольку при расчете мы обычно имеем дело со средним значением кривизны при разрушении. Последнее подтверждается и экспериментальными данными.

В следующих главах будет рассмотрено влияние ряда факторов на рабочую диаграмму сечения, т. е. и на меру перераспределения усилий. В основном эти сведения получены из экспериментов. Подробные теоретические исследования влияния отдельных факторов на деформативные свойства железобетонных сечений Кон и Гош выполнили с помощью ЭВМ.

Бетон. В формуле (13) свойства бетона учтены модулем деформативности vЕ_б=Е_б.пл, который помимо всего прочего влияет на плечо внутренней пары сил z и на приведенную площадь сжатой части сечения F_cп. Чем меньше модуль деформативности на данной стадии загружения, тем большей будет кривизна х. Обычно это верно для всей зависимости [М, х], а не только для той ее части, которая соответствует эксплуатационным нагрузкам. Модуль деформативности задан рабочей диаграммой бетона (рис. 15), его величина уменьшается с ростом напряжения. Модуль деформативности непосредственно зависит от модуля упругости Е_б, т. е. в конечном счете от прочности бетона. В случае долговременного загружения конструкции коэффициент v зависит от влажности среды, окружающей конструкцию. Таким образом учитывается влияние ползучести бетона. Коэффициент ψ_б практически не зависит от свойств бетона.

Проанализируем далее формулу (19) для подсчета кривизны х_р. Из нее следует, что значение х_р зависит от предельной деформации бетона ε_б.р. Если рассматривать предельную относительную деформацию бетона ε_б.р как величину, соответствующую призменной прочности бетона R^*_пр, не принимая во внимание нисходящую ветвь рабочей диаграммы, то можно с некоторым приближением считать, что при данных условиях предельная относительная деформация бетона не зависит от прочности

бетона. Зарубежные нормы дают для ε_б.р значения от —0,0020 до —0,0035, которые можно считать относительно низкими. В действительности же в элементах с обычным поперечным армированием относительные деформации оказываются в среднем несколько большими и достигают примерно —0,004. Используя мощное поперечное армирование сжатой зоны, например, в виде спиральной арматуры, при необходимости можно искусственно повысить предельные относительные деформации бетона, как это рекомендует А. Бейкер, вплоть до —0,01. Значение спирального армирования скажется лишь в том случае, если на несущую способность будет влиять прочность бетона на сжатие, т. е. у изгибаемых переармированных элементов и сечений с переходным армированием, когда предел текучести в арматуре наступает одновременно с исчерпанием прочности бетона, а у внецентренно-сжатых элементов при случае II разрушения. В сечениях, разрушающихся от растяжения (случай I), спиральное армирование не имеет практического значения. Это подтверждается результатами испытаний железобетонных балок, выполненных Г. Д. Бейзом и И. Б. Ридом. На графике зависимости [(М/М_пл), υ] (рис. 16) видно влияние спирального армирования бетона сжатой зоны. Момент М_пл, с которым соотносятся изгибающие моменты, соответствует в слабо армированных сечениях моменту достижения арматурой предела текучести, а в сильно армированных сечениях — началу отслаивания бетона.

В работе даются результаты испытаний предварительно-напряженных балок таврового и двутаврового сечений. На рис. 17 показаны диаграммы зависимости прогиба в момент разрушения f_р от степени поперечного армирования бетона сжатой зоны прямоугольными спиралями. Степень армирования определена соотношением

Диаграмма 5 на рис. 16 показывает, чтообмотка бетона сжатой зоны может благоприятно воздействовать на несущую способность элемента. На практике, однако, спиральное армирование бетона сжатой зоны почти не применяется из-за конструктивно технологических трудностей, за исключением некоторых случаев особо ответственных конструкций.

Как уже указывалось, форма эпюры напряжений бетона сжатой зоны не влияет существенно на разрушающий момент М_р. Так, с изменением величины х_р, вызванным изменением формы эпюры напряжений, будет другим и плечо внутренней пары сил. Для упрощения расчета по определению несущей способности элемента используется эпюра напряжений прямоугольной формы. В формуле для вычисления х_р плечо внутренней пары сил отсутствует, поэтому при использовании прямоугольной эпюры напряжений значение кривизны при разрушении получается большим, чем, к примеру, при использовании параболической эпюры. Ниже будет показано, как это учитывать при расчете.

В общем можно сказать, что мера перераспределения усилий будет большей для бетона низкой прочности, имеющего пониженные модули деформативности и относительно большие предельные относительные деформации. Однако при использовании явления перераспределения усилий не следует ограничиваться только бетонами низкой марки. Свойства бетона могут быть учтены в расчете различными способами (см. главы 4, 5).

Арматура. Влияние рабочей диаграммы арматуры. Для армирования железобетонных конструкций используется в основном сталь двух типов с физическим σ_т и условным σ₀₂ пределами текучести. К первому типу можно отнести также стали с высокой пластичностью, условный предел текучести которых σ₀₂ можно считать одновременно и физическим (рис. 18). Сталь первого типа используется в основном как ненапрягаемая арматура, но иногда ее могут применить и как напрягаемую. Сталь второго типа применяется практически только как напрягаемая арматура. Сталь каждого из двух типов в связи с различиями в диаграммах растяжения неодинаково влияет на перераспределение усилий.

Рассмотрим вначале обычные железобетонные изгибаемые элементы или сжатые с большим эксцентрицитетом по случаю I разрушения^[VI]. Сечение элемента должно быть запроектировано так, чтобы при исчерпании несущей способности разрушение происходило одновременно от раздробления бетона сжатой зоны и чрезмерных деформаций арматуры. Начало разрушения совпадает с достижением в арматуре предела текучести, что вызывает рост деформаций в бетоне вплоть до его раздробления (это зависит от степени армирования сечения). В силу пластичности стали сечение, перед тем как разрушиться, способно выдержать значительные деформации. Площадь R под приведенной рабочей диаграммой увеличивается, а мера перераспределения усилий возрастает. У полностью растянутых сечений несущая способность зависит только от свойств арматуры. Практически же при решении проблемы перераспределения усилий в рамных конструкциях с такими сечениями встречаться не приходится^[VII].

Если в предварительно-напряженных элементах в качестве напрягаемой арматуры использовать сталь с физическим пределом текучести, то мера перераспределения усилий будет приблизительно такой же, как и в обычных железобетонных конструкциях. При использовании стали с условным пределом текучести σ₀₂ все зависит от вида разрушения. При заданных механических свойствах стали решающим окажется степень армирования сечения. При разрушении от раздробления бетона сжатой зоны высота ее х_р относительно большая, поэтому кривизна х_Р при разрушении окажется малой. Площадь R будет меньше, чем в случае с элементами из обычного железобетона, что неблагоприятно повлияет на меру перераспределения усилий. При разрушении от растяжения (разрыва арматуры) ради упрощения будем считать, что одновременно произойдет и раздробление бетона. Относительная высота сжатой зоны при разрушении будет примерно такой же, как и у обычного железобетонного сечения одинаковой несущей способности. В этом случае кривизна при разрушении получит более благоприятные значения. Мера перераспределения усилий будет при этом теоретически такой же, как у простых железобетонных конструкций. В то же время необходимо помнить, что на практике почти не встречаются сечения предварительно-напряженных статически неопределимых конструкций, разрушающиеся от растяжения.

Влияние поверхности арматуры. В дополнение к рабочей диаграмме важной характеристикой арматуры является ее поверхность, а точнее говоря, способность ее передавать усилия на бетон посредством сцепления. Поверхность арматуры непосредственно влияет на частоту расположения трещин. Чем более эффективна с точки зрения сцепления ее поверхность, тем меньше расстояние между трещинами. Расстояния между трещинами при использовании горячекатаной стержневой арматуры периодического профиля или гладкой, а также гладкой проволоки (при равенстве всех остальных условий) находятся примерно в отношениях 0,7 : 1 : 1,25.

Как было показано в главе 2, п. 1, с ростом расстояния между трещинами продольные деформации концентрируются в областях, примыкающих к трещинам, или же вблизи критических сечений. Концентрация деформаций (поворотов) подтверждает предположение, что концентрация пластических зон происходит вблизи действительных пластических шарниров. В результате потери или уменьшения сцепления увеличивается свободная длина арматурного стержня, от которой прямо зависит поворот пластического шарнира.

Из вышеизложенного ясно, что арматура с гладкой поверхностью более выгодна с точки зрения использования деформативных свойств конструкции. Тем самым у напрягаемой проволочной арматуры частично компенсируются недостатки, связанные с формой рабочей диаграммы. Однако такой вывод имеет ограниченную действенность. Нельзя утверждать, что с точки зрения перераспределения усилий полезно было бы стремиться к нарушению сцепления или, например, обойтись без инъецирования пучков в каналах конструкций с натяжением арматуры на бетон. Исключение сцепления привело бы к чрезмерной концентрации деформаций, воспринять которую бетон был бы не в состоянии, а перераспределение усилий произошло бы лишь в ограниченной мере. Кроме того, исключение сцепления окажет неблагоприятное влияние на статическую работу конструкции и ее долговечность.

Расчет железобетонных рамных конструкций в пластической стадии.
Перераспределение усилий.
М. Тихий, Й. Ракосник
перевод с чешского Б.М. Сергеенко
1976