2.2.4. Степенной закон.
Исторически первое представление профиля средней скорости ветра при горизонтальной однородной местности имело вид степенного закона, предложенного в [2.39] в 1916 г.: 
В современной практике проектирования в строительстве принимается, что:
1) степенной закон с постоянным показателем степени α остается в силе вплоть до градиентной высоты (уровня трения) δ; величина δ является функцией только аргумента α [2.40].
Из первого из этих допущений следует, что
Второе допущение фактически является инженерным упрощением описания толщины пограничного слоя, заданного выражением (2.28). Значения δ и α, рекомендуемые в [2.40 и 2.41] для использования в проектировании, приведены в табл. 2.2. Отметим, что значения δ (для открытой местности и центров крупных городов), подобные тем, которые даны в табл. 2.2, были предположены Пэгоном в 1935 г. [2.91].
В настоящее время логарифмический закон считается метеорологами лучшим описанием профилей сильного ветра в нижних слоях атмосферы [2.25, 2.42 — 2.47], соответственно степенной закон более не используется в практике метеорологических исследований.
2.2.5. Соотношение между скоростями ветра для различных условий шероховатости подстилающей поверхности. Рассмотрим две соседние местности, каждая с однородной шероховатостью и достаточно большой областью разгона. Обозначим параметры шероховатости для этих местностей через z01 и z0 и предположим, что z01 < z0. Замедление
течения вследствие влияния приземного трения будет более эффективным над местностью с большей шероховатостью. Следовательно, если значение геострофической скорости одинаково над обеими территориями, то на одинаковых высотах средние скорости ветра будут меньше над территорией с большей шероховатостью. Соответствующие профили ветра схематически показаны на рис. 2.4.
Из их рассмотрения напрашивается следующий прием для установления связи между скоростями ветра при различных условиях шероховатости подстилающей поверхности. Чтобы вычислить скорость ветра U(zg, z0) над местностью с большей шероховатостью, если известна скорость U(zg1, z01), для профиля скорости над каждой местностью записывается, выражение (2.38), затем из полученных двух соотношений исключается величина G и в результате определяется скорость ветра
где α (z0), δ (z0) и α (z01), δ (z01) соответствуют параметрам шероховатости z0 и z01.
Уравнение (2.39) было предложено в [2. 40] и будет в дальнейшем упоминаться как модель степенного закона.
Недавно был предложен альтернативный метод, который основывается на результатах теоретических и экспериментальных исследований [2.22]. Если известна скорость U(zg1, z01), то из выражения (2.31) найдем
где использованы обозначения равенства (2.35). Применяя теперь выражение (2.40) для двух профилей, приведенных на рис. 2.4, и исключая G, получим
Из равенства (2.41) устанавливают значение динамической скорости и и затем определяют 
Соотношения (2.40), (2.41)и (2.42) будут в дальнейшем упоминаться как модель подобия.
Как показано в [2.22], некоторая неопределенность относительно точных значений постоянных А и В в равенстве (2.41) мало сказывается на результатах, поскольку приходится иметь дело с оценками скоростей ветра в нижних слоях атмосферы. С возможными ошибками порядка 3% или даже менее, можно принять, что А = 1,4 и В = 4,7. Точно так же зависимость результатов от и* и f несущественна, и ею можно пренебречь. Следовательно, для практических задач отношение и*/и*1 можно определять как функцию от параметров шероховатости z0 и z01. Зависимость и*/и*1 от z() и z01 с достаточной степенью точности (рис. 2.5) можно представить в виде соотношения [92]:
Однако последующие исследования показали, что модель подобия должна быть скорректирована на основе экспериментальных данных в случае местности, для которой z0 > примерно 0,3 м. В табл. 2.3 приведены значения отношения и*/и*1, основанные на данных измерений при z01 = 0,07 м и различных значениях z0, представляющих практический интерес [2.94].
2.3. Атмосферная турбулентность
2.3.1. Каскадный процесс переноса энергии. Можно считать, что пульсации скорости в турбулентном потоке, проходящем через некоторую точку (рис. 2.6), происходят вследствие суперпозиции концептуальных вихрей[1], каждый из которых совершает периодическое движение со своей угловой частотой ω = 2πп (где п — частота) или волновым числом К = 2π/λ (где λ — длина волны). Соответственно полную кинетическую энергию турбулентного движения можно рассматривать как сумму вкладов каждого из вихрей потока. Функция Е(К), выражающая зависимость этих вкладов энергии от волнового числа, носит определение энергетического спектра** турбулентного движения.
Если соответствующим образом преобразовать уравнения движения турбулентного потока, то можно показать, что «инерционные члены» в этих уравнениях связываются с переносом энергии от крупномасштабных вихрей к мелкомасштабным, тогда как посредством «диссипативных членов» учитывается рассеяние энергии. Последнее в основном происходит за счет наиболее мелкомасштабных вихрей, в которых деформации сдвига и, следовательно, напряжения вязкого трения велики. Если отсутствуют источники энергии, кинетическая энергия турбулентного движения будет убывать, т.е. будет происходить вырождение турбулентности потока: быстрее, если влияние вязкости велико, и медленнее, если это влияние мало.
Если быть более точным, то в последнем случае время затухания является продолжительным по сравнению с периодами вихрей в интервале больших волновых чисел. Следовательно, энергию таких вихрей можно приближенно считать постоянной. А это может быть только в том случае, когда энергия, подводимая к ним посредством «инерционного переноса» от крупномасштабных вихрей, уравновешивается энергией, рассеиваемой под влиянием вязкости среды. Тогда движение мелкомасштабного вихря определяется лишь скоростью переноса энергии (или, что равносильно, скоростью диссипации энергии,
обозначаемой ε, см. (2.9)) и вязкостью. Допущение, что такой случай имеет место, известно как первая гипотеза Колмогорова. Из этого допущения следует, что поскольку мелкомасштабное турбулентное движение зависит только от параметров самого потока, оно не зависит от внешних условий, таких как граничные условия, и поэтому имеет место локальная изотропность, т.е. отсутствие преимущественного направления движения мелкомасштабных вихрей.
Далее можно предположить, что диссипация энергии почти полностью происходит в самых мелкомасштабных вихрях потока. Следовательно, на нижнем конце интервала волновых чисел более высокого порядка, к которому применима первая гипотеза Колмогорова, влияние вязкости мало. Можно считать, что в этом подынтервале, известном как инерционный подынтервал, турбулентное движение не зависит от вязкости и поэтому определяется только скоростью переноса энергии (которая в свою очередь равна скорости диссипации энергии). Из этого допущения, известного как вторая гипотеза Колмогорова, следует, что записанное ниже соотношение, содержащее Е(К) и е, выполняется для достаточно больших К, т.е.
где Е(К) — энергия, приходящаяся на единицу волнового числа.
Размерность величин в квадратных скобках равенства (2.44) соответственно [L3,T-2], [L-1] и [L2Т-3]. Из соображений размерности (см. разд. 9.1) непосредственно следует, что
где а1 — универсальная постоянная.
Вследствие изотропности потока выражение для спектра пульсаций Продольной компоненты скорости [который будем обозначать S(K)] с точностью до постоянной аналогично выражению (2.45). Следовательно,
причем измерениями установлено, что а ≈0,5 [2.21].
2.3.2. Спектры пульсаций продольной компоненты скорости
2.3.2. 1. Спектры в инерционном подынтервале. Измерения, проведенные в приземном слое атмосферы, подтверждают предположение, что в горизонтально однородном потоке с безразличной стратификацией генерация энергии (см. 2.9) примерно уравновешивается ее диссипацией [2,3]. Выражение такого баланса энергии может быть записано в виде
где
Если воспользоваться выражениями (2.18), (2.47) и (2.48), то 
Подставим (2.49) в формулу (2.46), принимая при этом, что
В результате получим
где безразмерная величина*
известна как координата Монина (или координата подобия)** и
В (2.50) подразумевается, что возмущение течения распространяется со скоростью U(z), и, следовательно, u(t) можно отождествить с u(-x/U), где и — скорость пульсаций; t — время; х—координата в направлении средней скорости U (гипотеза Тэйлора*).
* Такое использование f в качестве общепринятого обозначения не следует путать с ее предыдущим применением как параметра Кориолиса.
** В отечественной литературе эту величину обычно называют безразмерной частотой; в дальнейшем будет использоваться именно это определение. (Примеч. науч. ред.)
Левая часть выражения (2.51) называется приведенным спектром пульсаций продольной компоненты скорости и, очевидно, является функцией высоты. Хотя отдельные выборки могут давать существенные отклонения от прогнозируемых значений, в среднем это выражение дает очень хорошее описание спектра в интервале высоких частот [2.43— 2.45, 2.49 2.52] и для инженерных целей можете известным запасом считаться справедливым при f > 0,2 [2.49, 2.52, 2.54]. Так, в случае логарифмического закона для больших скоростей ветра, которые принимаются при расчете сооружений (скажем, порядка 20 м/с или более), допустимо использовать (2.51) на всем интервале высот, представляющих интерес для инженера-строителя.
2.3.2.2. Спектры в интервале низких частот. Как указывалось в [2.43, 2.44, 2.50], в интервале низких частот нарушаются гипотезы подобия, и поэтому недопустимо описывать спектр посредством универсального соотношения. Тем не менее можно получить его описание, дающее хорошие результаты, если иметь в виду, что:
одномерная спектральная плотность приближается к некоторому конечному значению при f→0 [2.21];
произведение nS(z, п) достигает максимума на частоте f = fm, отвечающей неравенству 0 < fm < fs, где fs — такое значение f, при превышении которого становится справедливым выражение (2.51);
суммарная площадь под кривой спектральной плотности равна среднему квадрату пульсаций скорости (см. прил. А2);
среднее значение квадрата пульсаций с осреднением в один час можно выразить в виде
Выбор времени осреднения в 1 ч обосновывается данными экспериментальных наблюдений, показывающими, что в промежутке- времени порядка 1 ч существует «провал» в спектре пульсаций скорости, который разделяет микромасштабные и мезомасштабные движения 12.53]. Обычно принимается, что β не зависит от высоты. Значения β, основанные на натурных измерениях и предлагаемые для инженерных расчетов, приведены в табл. 2.4.
2.3.2.3. Выражения для спектров пульсаций продольной компоненты скорости. Если принять с запасом β = 6, то указанным выше условиям отвечает кривая, описываемая выражением вида:
Выражение (2.55), которое было предложено в [2.51], весьма точно аппроксимирует спектр и в интервале более высоких частот (2.51) и поэтому может использоваться для характеристики всего спектра [2.55].
В (2.55) β = 6 и fm = 0,03. В действительности β может принимать и другие значения в зависимости от шероховатости местности, как это показано в табл. 2.4. К тому же спектры в интервале низких частот и, следовательно, безразмерные частоты fm, соответствующие их максимумам, по-видимому, изменяются совершенно неупорядочным образом в зависимости от местоположения и при переходе от измерений в атмосфере к лабораторным условиям. Согласно [2.45], эти непредсказуемые изменения могут быть вызваны мезомасштабными явлениями, кроме того, fm изменяется с высотой. На основании имеющихся результатов измерений [2.50, 2.54] для условий безразличной стратификации, которые преобладают при сильных ветрах, fm ≈ 0,02 — 0,03 при z = 3 — 6 м; fm ≈ 0,025 — 0,04 при z = 15 — 20 м; fm ≈ 0,04— 0,08 при z = 30 — 60 м и fm ≈ 0,1 при z ≈ 90 м. Поэтому возникает вопрос, не может ли предположение, что fm = 0,03, которое включено в (2.55), быть источником существенных ошибок при определении реакции сооружения. Для ответа на него необходимо изучить влияние изменения fm на величину реакции.
Имея это в виду, в [2.55] было выведено альтернативное выражение для продольных спектров турбулентности, не противоречащее ранее изложенным требованиям, но в котором fm и β являются произвольно изменяемыми параметрами, а не постоянными величинами, как в (2.55).
способных описать эту зависимость (такие модели получили развитие только впоследствии, в 60-х годах), (2.62) и другие подобные выражения, приведенные в литературе, обеспечили полезные первые приближения для продольного спектра турбулентности в пограничном слое атмосферы. Отметим, что зависимость спектра от высоты явно подтверждается данными, опубликованными в [2.58] (рис. 2.7).
Как будет показано в разд. 7.4, спектральный состав в интервале низких частот мало влияет на реакцию сооружения, однако значения компонент турбулентных пульсаций на частотах равных или близких собственным частотам высокого сооружения могут оказать весьма существенное влияние на его реакцию. Поэтому представляет интерес сравнить более высокочастотные компоненты в выражениях (2.62) и (2.51) (или же соответственно в (2.62) и (2.55)). Такое сравнение показывает, что выражение, используемое в настоящее время в строительных нормах, может на 100 — 400% завышать ординаты продольного спектра турбулентности в этом интервале частот, как это видно из табл. 2,5 и рис. 2.8.
2.3.3. Взаимные спектры пульсаций продольной компоненты скорости. Взаимный спектр, полученный для двух непрерывных записей, служит характеристикой степени их взаимосвязи (корреляции) и определяется в виде
Действительная и мнимая части в (2.63) известны соответственно как коспектр и квадратурный спектр. Индексы при и1 и и2 указывают, что две эти записи сделаны в точках М1 и М2, расстояние между которыми обозначается через r.
Определим когерентность в виде [2.59]
корня квадратного из когерентности для записей (проведенных в точках с одинаковыми отметками) при U(10) = 20,8 м/с (С1у — 3,5) и U(10) — 35,2 м/с (С1у = 8,8) [2.62]. Зависимость коэффициентов убывания экспоненты от шероховатости местности, высоты над поверхностью земли и скорости ветра недостаточно обоснована и поэтому является источником погрешности результатов при инженерных расчетах сооружений. Следовательно, необходимы дальнейшие исследования в этой области как теоретические, так и экспериментальные.
2.3.4. Спектры и взаимные спектры пульсаций вертикальной и поперечной компонент скорости. В [2.3] показано, что спектры вертикальных пульсаций вплоть до высоты порядка 50 м можно определять по формуле
В соответствии с данными измерений, опубликованными в [2.621, взаимный спектр вертикальных пульсаций для двух точек M1 и М2,
расположенных на одинаковой высоте z, может быть выражен в виде
где ? у — горизонтальное расстояние между точками М1 и М2.
Спектр пульсаций поперечной компоненты скорости можно записать в виде
Выражение (2.71) было предложено в [2.51]. Выражения (2.70) и (2.71), в которых параметр f определяется из (2.52), соответствуют условию, что в интервале более высоких частот отношение ординат вертикального и поперечного спектров к ординатам продольного спектра равно 4/3 [2.50].
Можно ориентировочно принять, что взаимные спектры пульсаций поперечной компоненты скорости задаются выражением подобным (2.69), но с коэффициентами убывания экспоненты, уменьшенными примерно на 33% по сравнению со значениями, использованными в этом выражении [2.64].
2.3.5. Зависимость скорости ветра от времени осреднения. Из определения среднего значения вытекает, что средняя скорость ветра зависит от времени осреднения. При уменьшении продолжительности интервала осреднения максимальное значение средней скорости, соответствующее этому интервалу, увеличивается. Соотношение между скоростями ветра при осреднении t, с, Ut(z) и один час U3600(z) может быть записано следующим образом:
где с (t) — коэффициент, зависящий от t; и' — продольная компонента пульсаций скорости.
Если подставить выражения (2.31) и (2.54) в (2.72), то 
Коэффициент c(t) определяется на основании статистического анализа записей скоростей ветра. Результаты таких исследований опубликованы Дёстом [2.65] и представлены графически на рис. 2.12, который соответствует условиям открытой местности (z0 ≈ 0,05 м) при высоте z = 10 м. Значения c(t), соответствующие рис. 2.12, приведены в табл. 2.6.
Результаты экспериментальных исследований, приведенные в [2.661, говорят о том, что выражение (2.72) применимо (с указанными значениями коэффициента c(t)) для скоростей ветра над местностями с параметрами шероховатости до Zo = 1 м.
При расчетах высоких зданий используются средние скорости с часовым осреднением [2.41; 2.57], тогда как сведения о силе ветра в настоящее время задаются в виде значений максимальной скорости ветра (в милях в час) на высоте порядка 10 м над поверхностью земли
в открытой местности. Для такой максимальной скорости ветра Uf время осреднения в секундах составляет t = 3600/Uf где Uf задается в милях в час. Например, если Uf = 90 миль/ч, то t = 40 с и соответствующее ей среднее значение скорости при часовом осреднении, взятое по рис. 2.12, составляет 90/1,28 ≈ 70 миль/ч (31 м/с).
2.4. Горизонтально-неоднородные течения
Горизонтальные неоднородности атмосферных течений могут быть обусловлены либо состоянием подстилающей поверхности земли (например, изменениями шероховатости поверхности, рельефа местности), либо метеорологической природой самого течения (как в случае тропических циклонов или ураганов). Структура горизонтально-однородных течений в основном вполне понятна, однако результаты, достигнутые в их изучении, в значительной степени все еще остаются неполными или ориентировочными. Некоторые из них без сомнения представляют интерес для проектировщика и поэтому будут здесь рассмотрены.
Э.Симиу, Р.Сканлан
Воздействие ветра на здания и сооружения
1984
|
