Торнадо. Из всех ветров торнадо обладают наибольшей энергией: они вызывают разрушения, оцениваемые в 100 млн. дол. ежегодно в одних только США [13]. Торнадо состоит из вихря обычно порядка 300 м в диаметре, который развивается во время сильной грозы и перемещается относительно поверхности земли со скоростями порядка 30— 100 км/ч по траектории примерно в 15 км длиной, направленной преимущественно на северо-восток. Максимальное значение тангенциальных скоростей торнадо, которое удалось определить, было порядка 350 км/ч, но не исключается возможность того, что некоторые из них в действительности могут быть значительно выше.
Торнадо наблюдаются как воронкообразные облака (рис. 1.26). Вероятно, наивысшие тангенциальные скорости в вихре развиваются у края воронки, они падают по направлению к его центру и с увеличением расстояния от наружного края воронки.
Поскольку центробежные силы в вихре торнадо значительно превышают силы Кориолиса, последними можно пренебречь, и уравнение градиентного ветра (см. разд. 1.2) может быть записано в виде
где V — циклострофическая скорость ветра: r — расстояние по радиусу от центра вихря; ρ — плотность воздуха; dpdr — 1радиент давления по радиусу.
Из рис. 1,27, на котором показаны силы, действующие на частицу в вихре торнадо, видно, что давление в торнадо уменьшается по направлению к его центру. Разница между давлением в центре вихря и на расстоянии нескольких сотен футов от него может составлять ~100 ГПа (0,1 ат).
О торнадо также сообщается в Австралии, Западной Европе, Индии и Японии, хотя значительно реже, чем в США, Торнадо, которые наблюдаются в Японии, известны как татсумаки. Типичные диаметры татсумаки — около 50 м. Скорость их поступательного движения составляет 40—50 км ч, средняя длина траекторий, которые направлены в основном на северо-восток, — около 3 км, а их максимальные тангенциальные скорости, вероятно, около 200 км/ч [1.14].
Разрушительные действия торнадо на здания показаны на рис. 1,28.
Как уже говорилось, поверхность земли оказывает воздействие на движущуюся массу воздуха в виде горизонтальной силы сопротивления, которая тормозит поток. Этот эффект вследствие турбулентного перемешивания распространяется на область, называемую пограничным слоем атмосферы. Толщина пограничного слоя в случае безразличной (нейтральной) стратификации атмосферы изменяется обычно от нескольких сотен метров до нескольких километров в зависимости от силы ветра, шероховатости поверхности местности и широты. В пределах пограничного слоя скорость ветра возрастает с увеличением высоты над уровнем моря; ее величину на верхней границе пограничного слоя часто называют градиентной скоростью. За пределами пограничного слоя, т.е. в свободной атмосфере, ветер со скоростью, примерно равной градиентной скорости, направлен вдоль изобар.
В данной главе рассмотрены те аспекты течений в пограничном слое атмосферы, которые представляют интерес при проектировании сооружений. Приведены теоретические и экспериментальные результаты изучения средних профилей ветра, соотношения между скоростями ветра при различной шероховатости подстилающей поверхности и структуре атмосферной турбулентности. Поскольку инженер-строитель интересуется в первую очередь действием сильных ветров, дальнейшее изложение ведется в предположении о безразличной стратификации атмосферы. Подтверждением этого допущения является тот факт, что при сильных ветрах механическая (динамическая) турбулентность имеет преобладающее влияние по сравнению с тепловой конвекцией и поэтому посредством турбулентного перемешивания стремится вызвать безразличную стратификацию атмосферы, подобно тому как перемешивание в тонком слое жидкости приводит к наступлению изотермического состояния. К тому же, поскольку скорости ветров значительно ниже скорости звука, можно принять гипотезу о несжимаемости воздуха при изучении динамики его течения.
2.1. Основные уравнения
2.1.1. Уравнения осредненного движения. Движение в атмосфере подчиняется фундаментальным уравнениям механики сплошных сред, которые включают уравнение неразрывности (в соответствии с принципом сохранения массы) и уравнения изменения количества движения, т. е. второй закон Ньютона. Эти уравнения могут быть дополнены феноменологическими соотношениями, т.е. эмпирическими зависимостями, которые описывают удельную реакцию рассматриваемой непрерывной упругой среды на внешние воздействия (например, для случая линейно-упругого тела эти дополнительные соотношения представляют так называемый закон Гука).
Если уравнение неразрывности и уравнения количества движения осреднить по времени и отбросить члены, которые являются пренебрежимо малыми [2.1, 2.2], то получим уравнения, описывающие осредненное движение в пограничном слое атмосферы:
Ось z является вертикальной осью, а ось х для удобства выбрана совпадающей с направлением напряжения трения на поверхности земли, обозначаемого τ0 (рис. 2.1).
Из дифференцирования уравнения (2.3) по х или у видно, что изменение в вертикальном направлении горизонтального градиента давления зависит от горизонтального градиента плотности. В данной работе ограничимся рассмотрением только тех течений, в которых горизонтальный градиент плотности пренебрежимо мал (например, баротропных течений) (см. [2.3]). В этом случае горизонтальный градиент давления не изменяется по высоте, и следовательно, по всей толщине пограничного слоя имеет такое же значение, как на его верхней границе, т.е.
где Vgr — градиентная скорость; г — радиус кривизны изобар; n — направление градиентного ветра [см. уравнение (1.14)].
Если можно воспользоваться геострофическим приближением, то из уравнения (1.13) следует
где Ug и Vg — составляющие геострофической скорости G по осям х и у.
Граничные условия можно установить следующим образом: на поверхности земли скорость ветра равна нулю, тогда как с увеличением высоты от поверхности земли до равной толщине пограничного слоя исчезают напряжения трения и ветер приобретает градиентную скорость.
2.1.2. Замыкание уравнений поля средних скоростей. Для решения уравнений осредненного движения необходимо, чтобы принимались такие феноменологические соотношения (называемые также соотношениями замыканий), которые позволяют определить напряжения τu и τv. Хорошо известно допущение [2.1], что коэффициент турбулентной вязкости К и путь смешения L можно определить таким образом, что
Использование уравнений (2.7)—(2.8) совместно с уравнениями (2.1)—(2.4) принято называть замыканием уравнений поля средних скоростей. В уравнениях (2.7) должны задаваться или коэффициент турбулентной вязкости, или длина пути смешения.
2.1.3. Замыкание уравнений осредненного поля турбулентности. Из уравнений количества движения для осредненного движения может быть выведено следующее уравнение (см., например, [2.3]):
где черта над символом обозначает осреднение по времени; u, v, ω—турбулентные пульсации скорости соответственно по осям х, у, z; q — (u2 + v2 + ω2)1/2 представляет собой результирующий вектор пульсаций скорости; р' — пульсация давления; ε — скорость диссипации энергии на единицу массы.
Уравнение (2.9) называется уравнением баланса турбулентной энергии и выражает баланс адвекции (члены в первых скобках), генерации (члены во вторых скобках), диффузии и диссипации. Использование уравнения (2.9) и сопутствующих феноменологических соотношений совместно с уравнениями (2.1)—(2.4) принято называть замыканием уравнений осредненного поля турбулентности. Феноменологическое описание величин, включенных в уравнение (2.9), пытались выполнить различные авторы [2.4—2.6].
В работе [2.7] сообщается об успешных предсказаниях характеристик пограничного слоя, основывающихся на уравнении (2.9) и различных феноменологических зависимостях; несмотря на это, все еще существуют различные мнения относительно сравнительных достоинств этих зависимостей. В частности, замыкание уравнений осредненного поля турбулентности, по-видимому, дает преимущества при изучении трехмерных течений в пограничном слое атмосферы. Следуя [2.8] и [2.9] в [2.10], были предложены зависимости:
В случае замыкания уравнений осредненного поля турбулентности с использованием уравнений (2.9)—(2.13) эмпирическими функциями, которые должны быть заданы, являются коэффициент турбулентной диффузии а2(у/δ) и масштаб диссипации энергии (путь диссипации) Ld(у/δ). В [2.10] предложено для этих функций использовать кривые, которые приведены на рис. 2.2.
2.1.4. Замыкание уравнений во втором приближении состоит в дополнении уравнений количества движения и неразрывности уравнениями Рейнольдса, которые выводятся на их основе и определяют компоненты тензора напряжений.
Уравнения Рейнольдса содержат новые неизвестные члены, включающие тройные корреляции скорости, для которых должны быть найдены подходящие феноменологические зависимости. Для получения таких зависимостей был предложен метод инвариантного моделирования, который основывается на следующих предпосылках. Получаемые в результате моделирования члены должны:
обладать тензорными свойствами и условиями симметрии такими же, как исходные члены в уравнениях Рейнольдса; отвечать условиям размерности;
быть инвариантными относительно преобразования Галилея, т. е. переноса осей координат;
удовлетворять всем основным законам сохранения [2.11, 2.12].
Замыкание уравнений во втором приближении использовалось, например, при изучении структуры течения в пограничном слое атмосферы вблизи границы резкого изменения шероховатости поверхности [2.13].
2.2. Профили средних скоростей в горизонтальнооднородном потоке
Можно полагать, что в пределах горизонтальной местности с однородной шероховатостью поверхности на достаточно больших областях разгона существуют районы, над которыми воздушный поток при макросиноптических процессах будет однородным в горизонтальном направлении. Существование гори- зонтально-однородных атмосферных течений подтверждается наблюдениями и составляет отличие пограничного слоя атмосферы от двумерных пограничных слоев, которые возникают при обтекании плоских пластин.
В самом деле, известно, что в последнем случае поток в пределах пограничного слоя замедляется под действием горизонтальных напряжений, так что толщина пограничного слоя нарастает, как это показано на рис. 2.3. Однако в пограничном слое атмосферы горизонтальный градиент давления, который в слоях ниже градиентной высоты лишь частично уравновешивается силой Кориолиса (см. рис. 1.13), «перевозбуждает» среду и противодействует росту пограничного слоя. По этой причине горизонтальная однородность потока сохраняется [2.14].
При равновесном состоянии горизонтально-однородного потока уравнения (2.1) и (2.2), в которых использованы уравнения (2.6), принимают вид
2.2.1. Спираль Экмана. Если в приведенной выше модели напряжения трения представить в виде уравнений (2.7) и к тому же принять, что турбулентная вязкость постоянна, то полученная таким образом модель называется спиралью Экмана. В этом случае уравнения (2.14) становятся системой уравнений с постоянными коэффициентами. При граничных условиях U = V = 0 для z= 0 и U = Ug, V = Vg для z→∞ решение этой системы имеет вид 
Выражения (2.15), которые описывают спираль Экмана, схематически представлены на рис. 1.14. Однако было установлено неудовлетворительное соответствие этих уравнений данным наблюдений. Например, исходя из формул (2.15), угол α0 между напряжением приземного трения τ0 и направлением геострофического ветра (см. рис. 2.1 и 1.14) составляет 45°, тогда как наблюдения показывают, что в баротропных течениях, зависящих в основном от шероховатости местности, этот угол может изменяться примерно от 6 до 30°. Причиной расхождений является допущение, удобное с математической точки зрения, но физически неверное, что турбулентная вязкость не зависит от высоты.
2.2.2. Турбулентный слой Экмана. Метеорологи пытались решить уравнения (2.15), используя допущения об изменении турбулентной вязкости по высоте, что является более правдоподобным, чем предположение об ее постоянстве. Обзор соответствующих решений можно найти в [2.2 и 2.15].
Отличный от них подход недавно был развит в [2.14], в которой замыкание уравнений основывается на соображениях подобия, аналогичных тем, которые были использованы в теории двумерных течений в пограничном слое, а не на обращении к полю средних скоростей. При таком подходе пограничный слой подразделяется на приземный слой воздуха и внешний пограничный слой. Можно утверждать, что напряжение приземного трения τ0 должно зависеть от скорости потока на некотором небольшом расстоянии г от поверхности земли, шероховатости местности (т.е. параметра шероховатости z0) и плотности воздуха р, поэтому τ0 выразится в виде функции F от этих величин, т.е.
где i и j — единичные векторы соответственно по направлениям осей х и у.
В безразмерном виде уравнение (2.16) удобно записать следующим образом:
известна как динамическая скорость (скорость трения) потока и — некоторая функция отношения z/z0.
Уравнение (2.17) представляет собой хорошо известный универсальный закон турбулентности вблизи стенки и описывает течение в приземном слое.
Подобным же образом можно утверждать, что снижение скорости [(Ugi+Vgi)-(Ui+Vi)] на высоте z во внешнем пограничном слое должно зависеть от напряжения приземного трения τ0, высоты, до которой влияние напряжений у стенки распространяется в потоке, т.е. толщины пограничного слоя δ и плотности воздуха ρ. Выражение для этой зависимости в безразмерном виде известно как закон дефекта скорости:
где f2 — некоторая функция, которая будет определена ниже.
Если при этом принять, что переход от режима вблизи поверхности земли к режиму во внешнем слое происходит постепенно, то, по-видимому, существует область перекрытия, в которой оба закона справедливы. Запишем уравнение (2.17) в такой форме:
Из самого вида уравнений (2.19) и (2.20) и условия, что их правые части равны в области перекрытия, следует, что функция f1 должна быть аддитивной арифметической функцией. Из решения аналогичной двумерной задачи хорошо известно, что две функции (f1, и f2) будут логарифмическими [2.16 и 2.17]. Требования рассматриваемой задачи будут выполнены, если f1, и f2 определены следующим образом [2.14]:
где В и k — постоянные величины.
Подставляя выражения (2.21) и (2.22) соответственно в уравнения (2.20) и (2.19), имеем
Если приравнять теперь (2.23) и (2.24) в области перекрытия, то в результате получим
откуда следует
Далее покажем, что толщину пограничного слоя δ можно выразить в виде
где с — постоянная величина.
Для доказательства справедливости этого соотношения умножим уравнения (2.14а) и (2.14б) соответственно на единичные вектора j и i. Из полученных таким образом выражений, учитывая при этом, что τu = τ0, τv = 0 на поверхности и τu = τv = 0 при z = δ, следует
причем интегрирование производится по толщине пограничного слоя. Поскольку основной перенос воздушной массы происходит в тех частях пограничного слоя, где выполняется уравнение (2.19) (включая сюда и область перекрытия приземного слоя, по-видимому, вплоть до весьма малой высоты), профиль скорости в (2.29) может быть приближенно описан этим уравнением. Если подставить теперь (2.28) в (2.19)
и воспользоваться выражением (2.18), то левая часть равенства (2.29) принимает вид
т. е. равенство (2.29) удовлетворяется и установлена справедливость соотношения (2.28) [2.14]. В таком случае выражение (2.27) может быть записано в виде
Выражение (2.30) было независимо получено в [2.18, 2.5]. Вывод формулы в [2.5] основывался на уравнении баланса турбулентной энергии и допущении, что длина пути смешения пропорциональна z.
Величины А и В представляют собой универсальные постоянные. Из анализа наблюдений установлено, что 4,3 < В < 5,3 и 0 < А < 2,8 [2.14, 2.15, 2.18—2.24]. На основании экспериментов в аэродинамической трубе и атмосфере хорошо известная постоянная Кармана обычно принимается равной k ≈ 0,4*. Коэффициент с в выражении (2.28) составляет порядка 0,25 — 0,3 [2.20, 2.25].
2.2.3.Логарифмический закон. Уравнение (2.23) может быть записано в виде
(k ≈ 0,4) и известно как логарифмический закон.
Последними микрометеорологическими исследованиями установлено, что высота над поверхностью земли zl, до которой можно приближенно считать справедливым выражение (2.31), определяется соотношением
тде b — константа, имеющая значения порядка 0,015—0,03 [2.25, 2.26].
Как отмечалось в [2.25], соотношение (2.32) выражает тот хорошо известный из лабораторных экспериментов факт, что логарифмический слой охватывает некоторую часть (порядка 10%) толщины пограничного слой δ [см. (2.28)].
Можно также показать, что соотношение (2.32) непосредственно следует из допущения, что в области 0< z< zl напряжение трения τu ненамного отличается от напряжения приземного трения τ0 (см., например, [2.1], с.489) и составляющая скорости V мала. Проинтегрировав уравнение (2.14а) по высоте zl, получим
или
где η—мало.
* Истинное значение к стало в последние годы объектом некоторой дискуссии [2.93]. Однако благодаря установлению погрешностей, свойственных выражениям, приведенным в данном тексте, истинное значение постоянной k не влияет на расчеты, представляющие интерес для описанных здесь инженерных приложений.
Используя соотношения (2.18) и (2.26),
Как показано в (2.25, 2.27], для практических целей можно считать, что логарифмический закон выполняется даже для высот, превышающих те, на которых η составляет порядка 30%.
Если, например, f = 10-4 с-1, U = 30 м/с на высоте 10 м над поверхностью земли, z0 = 0,05 м (открытая местность) и b = 0,02, то из выражений (2.31)—(2.32) следует, что zl≈400 м. При сильных ветрах справедливость логарифмического закона вплоть до высот порядка нескольких сотен метров была подтверждена помимо измерений, о которых сообщается в [2.28, 2.29], также и наблюдениями в Сэйле [2.30] и Крэнфилде [2.31], результаты которых анализируются в [2.22].
Учитывая конечность высоты неровностей поверхности, необходимо видоизменить выражение (2.31) на основе эмпирических данных [2.32]. Будет правильнее, если через z обозначить не высоту над поверхностью земли, а определять эту величину в виде
где zg — высота над поверхностью земли; zd — вертикальное расстояние, известное как высота вытеснения.
Величину z будем называть эффективной высотой. Параметры течения z0 и zd определяются эмпирически и являются функциями природных условий, высоты и распределения неровностей поверхности [2.33]. Параметр шероховатости z0 служит характеристикой размера вихрей у поверхности земли. В [2.29] предлагается для получения приемлемых значений высоты вытеснения в городах пользоваться формулой
где H — обобщенный уровень верха крыш в городе.
Типичные значения z0 для различных типов поверхностей и соответствующие значения коэффициента поверхностного трения (определяемого по формуле k = {k/[ln(10/zo)]}2, где z0 выражается в метрах), приведены в табл. 2.1 [2.34]—[2.37]. В эту таблицу также включены значения z0, предлагаемые для застроенной местности. Определить характерные профили ветра для застроенной местности обычно трудно, в самом процессе определения содержится элемент неопределенности, поскольку неоднородны местные течения (например, в связи с влиянием спутных струй). По этой причине значения z0 на застроенных территориях могут значительно различаться от эксперимента к эксперименту. Значения, указанные в табл. 2.1, предназначены для использования в инженерных расчетах сооружений в предположении, что zd = 0. Как показано в [2.941 (см. также [2.95, 2.96]), они основываются на тщательном анализе данных натурных наблюдений.
Э.Симиу, Р.Сканлан
Воздействие ветра на здания и сооружения
1984
|
